Una ecuación ye una igualdá matemática ente dos espresiones alxebraiques, denominaes miembros, nes qu'apaecen valores conocíos o datos, y desconocíos o incógnites, rellacionaos por aciu operaciones matemátiques.Si en llugar d'una igualdá tratar d'una desigualdá ente dos expresiones matemátiques, va denominase inecuación. Los valores conocíos pueden ser númberos, coeficientes o constantes; y tamién variables que la so magnitú pueda ser establecida al traviés de les restantes ecuaciones d'un sistema, o bien por aciu otros procesos.N'ocasiones, dalgunu de los datos de la ecuación puede nun tener valor únicu, y aun así siguir siendo conocíu, yá seya por formar parte d'un conxuntu finito de valores (por casu una tabla) o por tratase d'un datu d'entrada a eleición. Dichu valor, qu'anque siendo variable nun ye una incógnita sinón un datu, va poder eventualmente apaecer formando parte de la solución. Asina entós, de la mesma que podría ser una solución posible pa una ecuación (onde π ye un númberu) tamién podría selo onde ye'l datu variable. Les incógnites, representaes xeneralmente por lletres, constitúin los valores que pretende topase. Por casu, na ecuación:
la variable representa la incógnita, ente que'l coeficiente 3 y los númberos 1 y 9 son constantes conocíes. La igualdá plantegada por una ecuación va ser cierta o falsa dependiendo de los valores numbéricos que tomen les incógnites; puede afirmase entós qu'una ecuación ye una igualdá condicional, na que solo ciertos valores de les variables (incógnites) facer cierta.
Llámase solución d'una ecuación a cualquier valor individual de diches variables que la satisfaiga. Pal casu dau, la solución ye:
Resolver una ecuación ye atopar la so dominio solución, que ye'l conxuntu de valores de les incógnites pa los cualos la igualdá cumplir. Polo xeneral, los problemes matemáticos pueden espresase en forma d'una o más ecuaciones; sicasí non toles ecuaciones tienen solución, yá que ye posible que nun esista nengún valor de la incógnita que faiga cierta una igualdá dada. Nesi casu, el conxuntu de soluciones de la ecuación va ser vacíu y dizse que la ecuación nun ye resoluble. De la mesma, puede tener un únicu valor, o dellos, o inclusive infinitos valores, siendo cada unu d'ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita fai cumplir la igualdá (esto ye, nun esiste nengún valor pal cual nun se cumpla) la ecuación ye en realidá una identidá.Les identidaes nun son consideraes ecuaciones, yá que nelles non cabo'l conceutu de solución.
Introducción
Uso d'ecuaciones La ciencia utiliza ecuaciones pa enunciar de forma precisa lleis; estes ecuaciones espresen rellaciones ente variables. Asina, en física, la ecuación de la dinámica de Newton rellaciona les variables fuercia F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primer llei de la mecánica de Newton. Por casu, si considérase una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación ye F = 1 kg·m/s = 1 Newton, que ye l'únicu valor pa la fuercia dexada pola llei.
Exemplos: Ecuación d'estáu Ecuación de movimientu Ecuación constitutiva
El campu d'aplicación de les ecuaciones ye inmensu, y por ello hai una gran cantidá d'investigadores dedicaos al so estudiu.
Tipos d'ecuaciones Les ecuaciones pueden clasificase según el tipu d'operaciones necesaries pa definiles y según el conxuntu de númberos sobre'l que se busca la solución. Ente los tipos más frecuentes tán: Ecuaciones alxebraiques De primer grau o lliniales De segundu grau o cuadráticas Diofánticas o diofantinas Racionales, aquelles nes qu'unu o dambos miembros esprésense como un cociente de polinomios Ecuaciones trascendentes, cuando arreyen funciones non polinómiques, como les funciones trigonométrequiers, esponenciales, logarítmiques, etc. Ecuaciones diferenciales Ordinaries En derivaes parciales Ecuaciones integrales Ecuaciones funcionales
Definición xeneral Dada una aplicación y un elementu del conxuntu , resolver una ecuación consiste n'atopar tolos elementos que verifiquen la espresión: . Al elementu llámase-y incógnita. Una solución de la ecuación ye cualquier elementu que verifique .
L'estudiu de les ecuaciones depende de les carauterístiques de los conxuntos y l'aplicación; por casu, nel casu de les ecuaciones diferenciales, los elementos del conxuntu son funciones y l'aplicación tien d'incluyir dalguna de les derivaes del argumentu. Nes ecuaciones matriciales, la incógnita ye una matriz.
La definición que se dio inclúi les ecuaciones de la forma . «» denota la suma de funciones, entós ye un grupu. Basta definir l'aplicación , con l'inversu de con al respective de la suma, pa tresformar la ecuación en .
Conxuntu de soluciones
Dada la ecuación , el conxuntu de soluciones de la ecuación vien dau por , onde ye la imaxe inversa de . Si ye'l conxuntu vacíu, la ecuación nun ye soluble; si tien solo un elementu, la ecuación va tener solución única; y si tien más d'un elementu, toos ellos van ser soluciones de la ecuación.
Na teoría d'ecuaciones diferenciales, nun se trata solo de pescudar la espresión esplícita de les soluciones, sinón determinar si una ecuación determinada tien solución y esta ye única. Otru casu nos que s'investiga la esistencia y unicidá de soluciones ye nos sistemes d'ecuaciones lliniales.
Casos particulares
Una ecuación diofántica ye aquella que la so solución solo puede ser un númberu enteru, esto ye, nesti casu . Una ecuación funcional ye aquella na que dalgunes de les constantes y variables qu'intervienen nun son realmente númberos sinón funciones; y si na ecuación apaez dalgún operador diferencial llámase ecuación diferencial. Cuando ye un cuerpu y un polinomiu, tiense una ecuación alxebraica polinómica.
Nun sistema d'ecuaciones lliniales, el conxuntu ye un conxuntu de vectores reales y la función ye un operador llinial.
Esistencia de soluciones En munchos casos, por casu nes ecuaciones diferenciales, una de les cuestiones más importantes ye determinar si esiste dalguna solución, ye dicir demostrar que'l conxuntu de soluciones nun ye'l conxuntu vacíu. Unu de los métodos más corrientes pa llogralo consiste n'aprovechar que'l conxuntu tien dalguna topoloxía. Nun ye l'únicu: nos sistemes d'ecuaciones reales, recurrir a téuniques alxebraiques pa pescudar si estos sistemes tienen solución. Sicasí, l'álxebra escarez de recursos p'asegurar la esistencia de soluciones nes ecuaciones alxebraiques: p'asegurar que toa ecuación alxebraica con coeficientes complexos tien una solución, hai que recurrir al analís complexu y, poro, a la topoloxía.
Propiedaes de la ecuaciones L'axoma fundamental de les ecuaciones ye Dos ecuaciones son equivalentes si les sos soluciones son les mesmes. Esto da llugar a les siguientes implicaciones. Si a los dos miembros d'una ecuación sumir una mesma cantidá positiva o negativa, la igualdá subsiste.
Si a los dos miembros d'una ecuación réstase-yos una mesma cantidá, positiva o negativa, la igualdá subsiste.
Si a los dos miembros d'una ecuación multiplicar por una mesma cantidá, positiva o negativa, la igualdá subsiste.
Si a los dos miembros d'una ecuación estremar por una mesma cantidá non nula, positiva o negativa, la igualdá subsiste.
Polo xeneral, si aplíquense funciones inyectivas a dambos miembros, la igualdá subsiste.
Otros dos operaciones respeten la igualdá pero pueden alteriar el conxuntu de soluciones: Simplificar factores comunes presentes en dambos llaos d'una ecuación que contienen variables. Esta operación tien d'aplicase con cuidu, porque'l conxuntu de soluciones puede trate amenorgáu. Por casu, la ecuación tien dos soluciones: y . Si estremen dambos llaos ente pa simplifcarla llógrase la ecuación , pero la segunda solución perdióse. Si aplícase una función non inyectiva a entrambos llaos d'una ecuación, la ecuación resultante puede nun tener un conxuntu de soluciones más grande que la orixinal.
Amás, una igualdá ye una rellación d'equivalencia, colo cual cumplir les siguientes propiedaes.
Propiedá reflexiva: . Exemplu: Propiedá simétrica: Si , entós . Exemplu: Si , entós . Si , entós . Propiedá transitiva: Si y , entós . Exemplu: Si y , entós . Si , y , entós .
Ecuación alxebraica
Una ecuación alxebraica, polinómica o polinomial ye una igualdá ente dos polinomios. Por casu:
Definición Llámase ecuación alxebraica con una incógnita la ecuación que s'amenorga a lo que sigue
.
onde ye un númberu enteru positivu; , , , ..., , denominar coeficientes o parámetros de la ecuación y tómense daos; nómase incógnita y ye buscada. El númberu positivu llámase grau de la ecuaciónManual de matemática (1985) Tsipkin, Editorial Mir, Moscú; traducción de Shapovalova; pg. 150. Pa definir un númberu alxebraicu considérense como coeficientes, númberos racionales.
Forma canónica Realizando una mesma serie de tresformamientos en dambos miembros d'una ecuación, puede consiguise qu'unu d'ellos amenórguese a cero. Si amás ordenar los términos según los esponentes a los que s'atopen alzaes les incógnites, de mayor a menor, llógrase una espresión denomada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suel estudiase les ecuaciones polinómiques a partir de la so forma canónica, ye dicir aquella que'l so primer miembru ye un polinomiu y que'l so segundu miembru ye cero.
Nel exemplu dau, sumando y restando en dambos miembros, y depués ordenando, llogramos:
Grau Denominar grau d'una ecuación polinomial al mayor esponente al que s'atopen alzaes les incógnites. Por casu
Ye una ecuación de tercer grau porque la variable alcuéntrase elevada al cubu nel mayor de los casos.
Les ecuaciones polinómiques de grau d'una sola variable sobre los númberos reales o complexos, pueden resolvese pol métodu de los radicales cuando (yá que nesos casos el grupu de Galois acomuñáu a los raigaños de la ecuación ye soluble). La solución de la ecuación de segundu grau ye conocida dende l'antigüedá; les ecuaciones de tercer y cuartu grau conocer dende los sieglos XV y XVI, y usen el métodu de radicales. La solución de la ecuación de quintu grau nun puede faese por aciu el métodu de radicales, anque puede escribise en términos de la función theta de Jacobi.
Ecuación de primer grau Dizse qu'una ecuación alxebraica ye de primer grau cuando la incógnita (equí representada pola lletra ) ta alzada a la potencia 1 (grau = 1), ye dicir que'l so esponente ye 1.
Les ecuaciones de primer grau tienen la forma canónica:
onde y tán nun conxuntu numbéricu (, ) con distintu de cero.
La so solución ye senciella: . Esixe la resolución, la esistencia d'inversos multiplicativos.
Resolución d'ecuaciones de primer grau Les ecuaciones polinómiques de primer grau resolver en tres pasos: transposición, simplificación y estene, desenvueltos de siguío por aciu un exemplu.
Dada la ecuación:
Transposición Primero arrexuntar tolos monomios qu'inclúin la incógnita nún de los miembros de la ecuación, de normal nel esquierdu; y tolos términos independientes (los que nun tienen o la incógnita del problema) nel otru miembru. Esto puede faese teniendo en cuenta que:
En términos coloquiales, dizse que: si un términu ta sumando (como nel miembru de la derecha) pasa al otru llau restando ( a la izquierda); y si ta restando (como'l de la esquierda), pasa al otru llau sumando ( a la derecha)
La ecuación va quedar entós asina:
Como puede trate, tolos términos que tienen la variable quedaron nel primer miembru (a la izquierda del signu igual), y los que nun la tener, por ser solu constantes numbérequiers, quedaron a la derecha.
Simplificación El siguiente pasu ye convertir la ecuación n'otra equivalente más simple y curtia. Si efectúase la simplificación del primer miembru:
Y simplificar el segundu miembru:
La ecuación simplificada va ser:
Estene