thumb|250px|Na naturaleza tamién apaez la xeometría fractal, como nesti brécol romanesco.
Un fractal ye un oxetu xeométricu que la so estructura básica, estazada o aparentemente irregular, repitir a distintes escales.Benoît Mandelbrot, La Xeometría Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 84-8310-549-7 El términu foi propuestu pol matemáticu Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del llatín fractus, que significa quebráu o quebráu. Munches estructures naturales son de tipu fractal. La propiedá matemática clave d'un oxetu genuinamente fractal ye que la so dimensión métrica fractal ye un númberu non enteru.
Magar el términu "fractal" ye recién, los oxetos güei denominaos fractales yeren bien conocíos en matemátiques dende principios del sieglu XX. Les maneres más comunes de determinar lo que güei denominamos dimensión fractal fueron establecíes a principios del sieglu XX nel senu de la teoría de la midida.
Introducción La definición de fractal desenvuelta nos años 1970 dio unidá a una serie d'exemplos, dalgunos de los cualos remontábense a un sieglu tras. A un oxetu xeométricu fractal atribúyense-y les siguientes carauterístiques: Ye demasiáu irregular pa ser descritu en términos xeométricos tradicionales. Ye autosimilar, la so forma ye fecha de copies más pequeñes de la mesma figura.
Les copies son similares al tou: mesma forma pero distintu tamañu. Exemplos de autosimilaridad Fractales naturales son oxetos naturales que pueden representase con bien bonu aproximamientu por aciu fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales atopaos na naturaleza estremar de los fractales matemáticos en que los naturales son averaos o estadísticos y el so autosimilaridad estiéndese solo a un rangu d'escales (por casu, a escala cercana a l'atómica la so estructura difier de la estructura macroscópica). Conxuntu de Mandelbrot ye un fractal autosimilar, xeneráu pol conxuntu de puntos estables d'órbita acutada so ciertu tresformamientu iterativu non llinial. Paisaxes fractales, esti tipu de fractales xeneraos computacionalmente pueden producir paisaxes realistes convincentes. Fractales de pintures, utilizar pa realizar el procesu de decalcomanía. El so dimensión de Hausdorff-Besicovitch ye puramente mayor que la so dimensión topolóxica. Definir por aciu un simple algoritmu recursivo.
Nun basta con una sola d'estes carauterístiques pa definir un fractal. Por casu, la recta real nun se considera un fractal, pos a pesar de ser un oxetu autosimilar escarez del restu de carauterístiques esixíes.
Un fractal natural ye un elementu de la naturaleza que puede ser descritu por aciu la xeometría fractal. Les nubes, los montes, el sistema circulatoriu, les llinies costeres¿Cuántu mide la mariña de Gran Bretaña? o los falopos de nieve son fractales naturales. Esta representación ye averada, pos les propiedaes atribuyíes a los oxetos fractales ideales, como'l detalle infinitu, tienen llendes nel mundu natural.
Los exemplos clásicos P'atopar los primeros exemplos de fractales tenemos de remontanos a finales del sieglu XIX: en 1872 apaeció la función de Weierstrass, que'l so grafo anguaño consideraríamos fractal, como exemplu de función continua pero non diferenciable en nengún puntu.
thumb|240px|Socesivos pasos de la construcción de la Curva de Koch Darréu apaecieron exemplos con propiedaes similares pero una definición más xeométrica. Dichos exemplos podíen construyise partiendo d'una figura inicial (grana), a la que s'aplicaben una serie de construcciones xeométriques sencielles. La serie de figures llograes averar a una figura llende que correspondía a lo que güei llamamos conxuntu fractal. Asina, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedaes similares a la de Weierstrass: el falopu de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó'l so triángulu y, un añu dempués, el so alfombra.
Construcción de l'alfombra de Sierpinski:100px100px100px100px100pxPasu 1 (grana)Pasu 2Pasu 3Pasu 4Pasu 5
Estos conxuntos amosaben les llimitaciones del analís clásicu, pero yeren vistos como oxetos artificiales, una "galería de bisarmes", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidá d'estudiar estos oxetos en sí mesmos.Stewart, Ian. D'equí al infinitu. Crítica, Grijalbo Mondadori, S.A., 1998. ISBN 84-7423-853-6.
En 1919 surde una ferramienta básico na descripción y midida d'estos conxuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
Los conxuntos de Julia thumb|200px|En negru, imaxe del Conxuntu de Mandelbrot superpuestu colos conxuntos de Julia rellenos representaos por dalgunos de los sos puntos (en colloráu los conxuntos de Julia conexos y n'azul los non conexos). Estos conxuntos, frutu de los trabayos de Pierre Fatou y Gaston Julia nos años 1920, surden como resultáu de l'aplicación repitida de funciones holomorfas .
Analicemos el casu particular de funciones polinómiques de grau mayor qu'unu. Al aplicar socesives vegaes una función polinómica ye bien posible que'l resultáu tienda a . Al conxuntu de valores de que nun escapen al infinitu por aciu esta operación denominar conxuntu de Julia relleno, y a la so frontera, a cencielles conxuntu de Julia.
Estos conxuntos representar por aciu un algoritmu de tiempu d'escape, en que cada pixel se colorea según el númberu de iteraciones necesaries pa escapar. Suel usase un color especial, de cutiu el negru, pa representar los puntos que nun escaparon tres un númberu grande y prefijado de iteraciones.
Exemplos de conxuntos de Julia pa
Families de fractales: el conxuntu de Mandelbrot La familia de conxuntos de Julia , acomuñaes a la reiteración de funciones de la forma presenta conxuntos d'una variedá sorprendente.
Dicha familia va tener especial relevancia al quedar parametrizada nun mapa de fractales, popularizáu nos años 1980, llamáu conxuntu de Mandelbrot. Esti conxuntu M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetru , se colorea de cuenta que reflexe una propiedá básica del conxuntu de Julia acomuñáu a . En concretu, si'l conxuntu de Julia acomuñáu a ye conexu.
Iterando funciones de forma alternativa xenérense los fractales trémboles.
El métodu de Mandelbrot: distintos fractales iterando potencies de Z De siguío amuésase una serie de fractales de les distintes potencies de Z = Zm + C , según el métodu de Mandelbrot. Tolos puntos del planu complexu C=(Cx,iCy) son iterados por adición a la función correspondiente. Toles iteraciones parten de los puntos x=0 iy=0. Cuando la iteración converxe se colorea de mariellu pálido. La diverxencia a infinitu ye coloriada por aciu un patrón cromáticu dende'l negru al azul. El fractal deriváu de la función Z = Z² + C denominar conxuntu de Mandelbrot.
Exemplos de fractales del tipu Mandelbrot Z = Zm + C
Exemplos de fractales del tipu Mandelbrot Z = Zm + 1/C
Más fractales según el métodu de Mandelbrot.
El métodu de Julia: distintos fractales iterando potencies de Z De siguío amuésase una serie de fractales de les distintes potencies de Z = Zm + C, según el métodu de Julia, pol matemáticu francés Gaston Julia.
Tolos puntos del planu complexu Z=(x,iy) son iterados na función correspondiente. A toles iteraciones añader una constante arbitraria (Cx,iCy) de cuenta que la eleición de la constante "grana" determina de forma unívoca la forma y el color del fractal, una vegada foi definíu'l patrón cromáticu. Nos exemplos amosaos de siguío escoyóse una constante tal que solo produz diverxencia, y haise coloriáu col algoritmu de la velocidá d'escape.
Exemplos de fractales del tipu Julia Z = Zm + C
Exemplos de fractales de tipo Julia, de la función esponencial: Z = Zm + C
Exemplos de fractales del tipu Julia de funciones complexes.
El métodu de Newton
El métodu de Newton intenta atopar por iteración los raigaños de la función F(Z)-1 = 0.
Se itera la función F(Z) con cada puntu del planu complexu (x + iy), siendo Z=(x1 + iy1) hasta la converxencia de x1 i y1, según la siguiente fórmula: Zn+1 = Zn - F(Zn) / F'(Zn), onde F'(Z) ye la derivada. Haise coloriáu col algoritmu de la velocidá de converxencia, conceptualmente idénticu al de la velocidá d'escape, y presenta semeyances col métodu de Julia.
Exemplos de fractales de tipu Newton, de delles funciones de variable complexa:
Carauterístiques d'un fractal Autosimilitud Según B. Mandelbrot, un oxetu ye autosimilar o autosemejante si los sos partes tienen la mesma forma o estructura que'l tou, anque pueden presentase a distinta escala y pueden tar llixeramente deformadas.B. Mandelbrot. Los oxetos fractales. Forma, azar y dimensión. Tusquets Editores, S.A., 1993. ISBN 978-84-7223-458-1
Los fractales pueden presentar tres tipos d'autosimilitud: Autosimilitud exacta. este ye'l tipu más restrictivu de autosimilitud: esixe que'l fractal paeza idénticu a distintes escales. De cutiu atópase en fractales definíos por sistemes de funciones iteradas (IFS). thumb|400px|Cuasiautosimilitud nel conxuntu de Mandelbrot: al variar la escala llogramos copies del conxuntu con pequeñes diferencies. Cuasiautosimilitud: esixe que'l fractal paeza aproximadamente idénticu a distintes escales. Los fractales d'esti tipu contienen copies menores y aburuyaes de sigo mesmos. Matemáticamente D. Sullivan definió'l conceutu de conxuntu cuasiauto-similar a partir del conceutu de cuasi-isometría. Los fractales definíos por rellación de recurrencia son de normal d'esti tipu. Autosimilitud estadística. Ye'l tipu más débil de autosimilitud: esíxese que'l fractal tenga midíes numbériques o estadístiques que se caltengan col cambéu d'escala. Los fractales aleatorios son exemplos de fractales d'esti tipu.
Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch Ente los fractales podemos atopar exemplos como curves qu'enllenen tol planu. Nesi casu, la dimensión topolóxica de la curva, que ye unu, nun nos informa sobre la forma en qu'esta ocupa l'espaciu ambiente. De manera xeneral, podríamos preguntar cómo densamente un conxuntu ocupa l'espaciu métricu que lu contién. Los númberos que nos informen oxetivamente d'esti tipu de cuestiones son:
La dimensión fractal. Les fórmules que la definen tienen que ver col recuentu de les boles necesaries p'anubrir el conxuntu o col de caxes d'una cuadrícula que contienen parte del conxuntu, cuando les dimensiones d'unes y otres tienden a cero. Podemos midir la dimensión fractal d'oxetos reales: llinies de la mariña (1.2), nubes, árboles, etc, Con estes midíes podemos comparar oxetos del mundu real con fractales xeneraos por algoritmos matemáticos.
La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tien una definición más complexa que la de dimensión fractal. La so definición nun suel usase pa comparar conxuntos del mundu real.
thumb|200px| Autosimilitud estadística d'un fractal xeneráu pol procesu d'agregamientu llindáu por espardimientu.
Definición por algoritmos recursivos Podemos destacar trés téuniques comunes pa xenerar fractales: Sistemes de funciones iteradas (IFS). Unos conxuntos reemplácense recursivamente pola so imaxe so un sistema d'aplicaciones: el conxuntu de Cantor, l'alfombra de Sierpinski, el triángulu de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el falopu de nieve de Koch o la Esponxa de Menger, son dellos exemplos. Fractales d'algoritmos d'Escape, definíos por una rellación de recurrencia en cada puntu del espaciu (por casu, el planu complexu): el conxuntu de Mandelbrot, conxuntu de Julia, y el fractal de Lyapunov. Fractales aleatorios, xeneraos por procesos estocásticos, non deterministes: el movimientu browniano,el vuelu de Lévy, los paisaxes fractales o los árboles brownianos. Estos postreros son producíos por procesos d'agregamientu per espardimientu llindada..
Aspeutos matemáticos Intentos de definición rigorosa El conceutu de fractal nun dispón nel añu 2008 d'una definición matemática precisa y d'aceptación xeneral. Intentos parciales de dar una definición fueron realizaos por: