thumb|300px|Diagrama de la trayeutoria del sistema de Lorenz pa los valores r = 28, σ = 10, b = 8/3. thumb|300px|El pendilexu doble ye unu de los sistemes caóticos más simples qu'esisten. Reparar la so trayeutoria irregular, amás dando al pendilexu una posición inicial llixeramente distinta llógrase una trayeutoria dafechu distinta pasáu un tiempu.
La teoría del caos de la denominación popular de la caña de LOS matemáticos, la física y otros ciencias (bioloxía, meteoroloxía, economía, ente otros) que trata ciertos tipos de sistemas complexos y sistemas dinámicos bien sensibles a las variaciones nes condiciones iniciales. Pequeñes variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias del comportamientu futuru, imposibilitando la predicción al llargu plazu. Esto asocede anque estos sistemes son en cierto ye ddeterministes, icir; el so comportamientu puede ser dafechu determináu conociendo les sos condiciones iniciales.
Definición La teoría del caos tamién esplica que el resultáu de daqué depende de distintes variables y que ye imposible de predicir. Por casu, si asitiamos un güevu nel cumal d'una pirámide nun vamos saber escontra onde va cayer.
Clasificación de los sistemes Los sistemes dinámicos pueden clasificase básicamente en: teoría de la estabilidá Estables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales abondo cercanes siguen siendo cercanes a lo llargo del tiempu. Asina, un sistema estable tiende a lo llargo del tiempu a un puntu, o órbita, según la so dimensión (atractor o sumidoriu). Inestables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales distintes acaben diverxendo por pequeñes que sían les condiciones iniciales. Asina un sistema inestable "escapa" de los atractores. Caóticos, cuando'l sistema nun ye inestable y magar dos soluciones caltener a una distancia "finita" cercana a un atractor del sistema dinámicu, les soluciones muévense en redol al atractor de manera irregular y pasáu el tiempu dambes soluciones nun son cercanes, magar suelen ser cualitativamente similares. D'esa manera, el sistema permanez confináu nuna zona del so espaciu d'estaos, pero ensin tender a un atractor fixu.
Una de les principales carauterístiques tantu de los sistemes inestables como los caóticos ye que tienen una gran dependencia de les condiciones iniciales (esto estrema a dambos tipos de los sistemes estables). D'un sistema del que se conocen los sos ecuaciones d'evolución temporal carauterístiques, y con unes condiciones iniciales fixes, puede conocese esautamente la so evolución nel tiempu. Pero nel casu de los sistemes caóticos, una mínima diferencia neses condiciones fai que'l sistema evolucione de manera totalmente distinta. Exemplos de tales sistemes inclúin el Sistema Solar, les plaques tectóniques, los fluyíos en réxime aturbolináu y les crecederes de población..
Caos determinista El caos determinista entiende una serie de fenómenos atopaos na teoría de sistemes dinámicos, la teoría d'ecuaciones diferenciales y la mecánica clásica. En términos xenerales el caos determinista da llugar a trayectories acomuñaes a la evolución temporal de forma bien irregular y aparentemente azarosa que sicasí son totalmente deterministes, a diferencia del azar xenuinu. La irregularidá de les trayectories ta acomuñada a la imposibilidá práutica de predicir la evolución futura del sistema, anque esta evolución sía totalmente determinista.
Definición de caos y atractores Nun hai una definición universal sobre'l caos, pero hai tres ingredientes nos que tolos científicos tán d'alcuerdu: Movimientu trémbole. Les trayectories nun s'afaen a un puntu fixu, órbita periódica o órbita cuasiperiódica cuando . Determinismu. El sistema nun ye azarosu sinón determinista. El comportamientu irregular, en dimensión finita, surde de la non linealidad. Por eso defínese como determinista. Sensibilidá a les condiciones. Les trayectories qu'empiecen cerca, col tiempu dixébrense esponencialmente. Esto ye, condiciones iniciales bien similares acaben dando llugar a comportamientos distintos pasáu un tiempu abondo llargu.
Los sistemes caóticos típicamente caracterícense por ser modelizables por aciu un sistema dinámicu que tien un atractor. Pa definir puramente un atractor hai que recurrir a tecnicismos, y ye difícil dar una idea intuitiva ensin ellos. Nun primer aproximamientu puede dicise qu'un atractor ye un conxuntu nel que toles trayectories cercanes converxen. Los puntos fixos y círculos llende son un exemplu d'ello. Al igual que na definición del caos, hai 3 ingredientes universales: Cualquier trayeutoria que tea nun atractor, va tar nél pa . Atraen un conxuntu de condiciones iniciales. El conxuntu componer les condiciones iniciales de la so trayeutoria qu'acabe nel atractor cuando . Nun esisten condiciones iniciales que satisfaigan los dos regles anteriores.
Dientro de los atractores defínese como atractor estrañu o caóticu cuando'l atractor exhibe dependencia sensible coles condiciones iniciales.
La importancia de la non linealidad en dimensión finita
Hai dos importantes tipos de sistemes dinámicos: les ecuaciones diferenciales y los sistemes iterativos de funciones. Les ecuaciones diferenciales describen la evolución d'un sistema a tiempu real y los mapes iterados evolucionen en problemes onde'l tiempu ye discretu. Dambos son útiles pa dar exemplos del caos y tamién p'analizar soluciones periódiques o caótiques de les ecuaciones diferenciales.
Dizse qu'un sistema ye non llinial cuando la potencia de les variables d'esi sistema ye distintu a unu, hai productos ente distintos variables o funciones de les variables, por casu:
La mayoría de sistemes non lliniales son analíticamente irresolubles. Nestos casos puede llograse dalguna solución faciendo una aproximamientu, pero pierden soluciones físiques. La razón de que les ecuaciones lliniales sían más fáciles d'analizar ye que los sistemes lliniales pueden dixebrase en partes, resolver caúna d'elles y xuntar les soluciones pa llograr la solución final. El fechu ye que munches coses na naturaleza actúen de forma non llinial.
La importancia que tienen los sistemes nel caos ye'l siguiente: dizse qu'un sistema dinámicu ye non sensible cuando pequeños cambeos nes condiciones iniciales del sistema nun anicien grandes cambeos nel procesu y resultáu final del mesmu.
Diverxencia esponencial de trayectories cercanes thumb|500px|Tiempu d'horizonte. Esponente de Lyapunov. Los atractores exhiben una dependencia sensible de les condiciones iniciales. Esto significa que dos trayectories qu'empiecen cerca una de la otra diverxen, y caúna va tener un futuru totalmente distintu de la otra. Faciendo estudios numbéricos de los atractores estraños puede atopase la siguiente proporción:
onde ye'l vector que dixebra 2 trayectories, ye la separación inicial y ye l'esponente Lyapunov. Cuando'l sistema tien un esponente de Lyapunov positivu (), atópase un tiempu d'horizonte onde la predicción dexa de ser válida. Si tómase como'l valor máximu de la distancia aceptable ente dos trayectories (la predicción va ser intolerable cuando ), entós el tiempu d'horizonte defínese como Lo peor del tiempu d'horizonte ye que, por enforma que s'embriva la separación inicial, nun va llograr ser muncho más grande. Esto ye, anque se llogre una precisión bien bona, la medría del tiempu d'horizonte que se llogra va ser insignificante comparáu col amenorgamientu de . Por esto, Lorenz dixo que yera tan difícil predicir el tiempu. Esta torga de la predicción conocer col nome efecto mariposa por una charra de Lorenz col títulu "¿Puede'l bater de les ales d'una caparina en Brasil dar llugar a un tornáu en Texas?".
La sensibilidá a les condiciones ye tan desaxeradamente esaxerada que, aparte del provocatible títulu de la charra de Lorenz, atópense otres frases como,
Si dibuxa una gráfica coles exes y , reparar que pa un curtiu plazu de , la función muévese alredor d'una pendiente. El valor d'esta rimada equival al esponente de Lyapunov. Como se repara nel exemplu de baxo, dempués d'un tiempu la función nun sigue cerca de la rimada. Esto ye por cuenta de que, como'l atractor ta acutáu nun espaciu del espaciu de fases, la distancia nun puede aumentar hasta'l infinitu.
Atractores
thumb|right|200px|Modelu matemáticu. El comportamientu o movimientu nun sistema dinámicu puede representase sobre'l espaciu de fases. Les diagrames de fases nun amuesen una trayeutoria bien definida, sinón qu'ésta ye errabunda alredor de dalgún movimientu bien definíu. Cuando esto asocedi dizse que'l sistema ye atraíu escontra un tipu de movimientu, esto ye, qu'hai un atractor.
Al falar de atractores nun se fai referencia única y puramente a los atractores caóticos, yá que primero qu'apaeciera el caos conocíen otros tipos de atractores. D'alcuerdu a la forma en que les sos trayectories evolucionen, los atractores pueden ser clasificaos como: Atractor de puntu fixu: Correspuende al más simple, el sistema que tenga un atractor de puntu fixu va tender a estabilizase nun únicu puntu. Un exemplu común ye'l pendilexu, que tiende al puntu nel que l'ángulu ye nulu al respective de la vertical, debíu a la esfregadura col aire. Atractor de ciclu llende o atractor periódicu: Ye'l segundu tipu de atractor más senciellu. Esti tipu de atractor tiende a caltenese nun periodu igual pa siempres. Como exemplu, puede tomase un pendilexu alimentáu pa compensar la fuercia d'esfregadura, polo que bazcuyaría de llau a llau. Atractor caóticu: Apaez en sistemes non lliniales que tienen una gran sensibilidá a les condiciones. Un famosu exemplu d'estos atractores ye l'atractor de Lorenz. Estos nomes rellaciónense esautamente col tipu de movimientu que provoquen nos sistemes. Un atractor periódicu, por casu, puede emponer el movimientu d'un pendilexu n'oscilaciones periódiques; sicasí, el pendilexu va siguir trayectories errátiques alredor d'estes oscilaciones debíes a otros factores menores non consideraos.
Exemplos de atractores va vese una introducción d'estos distintos tipos de atractores con un modelu matemáticu bien usáu pa esplicar el caos. Consiste nuna baniella d'aceru con un estremu fitu a un soporte y l'otru llibre pa bazcuyar ente dos imanes asitiaos simétricamente. El soporte de la baniella tópase sometíu a una fuercia harmónica , como se repara na figura del modelu matemáticu.
Ye fácilmente observable que cuando la baniella ta en posición vertical, hai un puntu d'equilibriu inestable ente dos puntos d'equilibriu estables asitiaos simétricamente. El potencial d'esti sistema ye de cuenta que la ecuación de movimientu va ser, Si agora amiéstase una fuercia d'esfregadura del aire proporcional a la velocidá (-) y una fuercia esterno harmónica, llógrase la ecuación de Duffing:
De siguío vese cómo'l términu non llinial tien consecuencies dinámiques estelantes. 200px 200px γ = 0, f = 0. γ = 0.2, f = 0.
Suponiendo que primero non se tien resfregón () nin fuercia esterno (), el sistema ye conservativo y va tenese una integral primer qu'apurre les trayectories nel espaciu de fases :
Nos mínimos de la enerxía potencial reparar que los puntos son estables ente que'l máximu correspuende a un puntu de siella inestable. Les trayectories d'enerxía nula son órbites homoclínicas que se topen tantu na variedá estable como na inestable. Les demás trayectories correspuenden a oscilaciones periódiques que les sos órbites zarren un solu puntu estable () o dambos ().
Si agora tiense en cuenta la esfregadura, van llograse oscilaciones amortiguadas, polo que ye lóxicu pensar que'l sistema va perder enerxía monótonamente, mientres el tiempu trescurra. Arriendes d'ello, les trayectories van tender a unu de los atractores de puntu fixu.