En matemátiques, la raíz cuadrada d'un númberu , representada por , ye aquel númberu qu'al ser multiplicáu por sigo mesmu da como resultáu'l valor . Esto ye, cumple la ecuación .Álxebra moderna- Estructura y métodu. Dolciani y otros. Publicaciones Cultural. Méxicu, Mexico 1986
La raíz cuadrada corresponder cola radicación d'índiz 2 o, equivalentemente, cola potenciación d'esponente 1/2.
Cualquier númberu real non negativu tien un únicu raíz cuadrada positiva o raíz cuadrada principalEn llibros traducíos del inglés pa la editorial Pearson impresos en Mexico. El so usu yera más xeneral, p'aplicalo en raigaños enésimos. y denotada como onde ye'l símbolu raigañu y ye'l aniciando.
Cuando se riquir denotar dos raigaños cuadraos una negativa, , y otra positiva, , suelen denotarse curioso como o bien como según l'orde precisáu.
El conceutu de raíz cuadrada puede estendese a cualquier aniellu alxebraicu, asina ye posible definir la raíz cuadrada d'un númberu real negativu o'l raíz cuadrada de delles matrices. Nos númberos cuaterniónicos los reales negativos almiten un númberu infinitu de raigaños cuadraos, sicasí'l restu de cuaterniones distintos de cero almiten solu dos raigaños cuadraos. Nel aniellu non conmutativu de les funciones reales de variable real cola adición y la composición de funciones si fºf = g, puede plantegase que f ye la "raíz cuadrada" de g.Plausible xeneralización al casu d'un aniellu non conmutativu
Historia Los raigaños cuadraos son espresiones matemátiques que surdieron al plantegar diversos problemes xeométricos como'l llargor de la diagonal d'un cuadráu. El Papiru d'Ahmes datáu hacia 1650 e. C., que copia testos más antiguos, amuesa cómo los exipcios estrayíen raigaños cuadraos.Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. Nueva York: Springer-Verlag, 1994.
Na historia de la India antigua India, la conocencia d'aspeutos teóricos y aplicaos del cuadráu y la raíz cuadrada foi siquier tan antiguu como los Sulba Sutras, fechaos ente'l 500 y el 300 e. C. Un métodu p'atopar bien bonos aproximamientos a los raigaños cuadraos de 2 y 3 ye dau nel Baudhayana Sulba Sutra., cap. 8. Aryabhata (476-550) nel so tratáu Aryabhatiya (seición 2.4), dio un métodu p'atopar la raíz cuadrada de númberos con dellos díxitos.
Los babilonios averaben raigaños cuadraos faciendo cálculos por aciu la media aritmética reiteradamente. En términos modernos, tratar de construyir una socesión dada por:Boyer: Historia de la matemática
Puede demostrase qu'esta socesión matemática converxi (como valor inical puede tomase con bonu aproximamientu l'enteru más cercanu al valor de la raíz cuadrada). Los raigaños cuadraos fueron unu de los primeros desarrollos de les matemátiques, siendo particularmente investigaes mientres el periodu pitagóricu, cuando'l descubrimientu de que la raíz cuadrada de 2 yera irracional (inconmensurable) o non expresable como cociente dalgunu, lo que supunxo un finxu na matemática de la dómina.
Primeramente amosaron la so utilidá pal resolución de problemes trigonométricos y xeométricos, como la diagonal d'un cuadráu o'l teorema de Pitágores. Darréu fueron ganando utilidá pa operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundu grau o superior, y son na actualidá una de les ferramientes matemátiques más elementales.
David Eugene Smith, en History of Mathematics, diz alrodiu de la situación esistente:
Pietro Antonio Cataldi calculó en 1613 la raíz cuadrada averando por fracciones continues, como apaez na obra común Historia de la matemática de Julio Rey Pastor y José Babini.
El símbolu de la raíz cuadrada foi introducíu en 1525 pol matemáticu Christoph Rudolff pa representar esta operación,Boyer, Carl Benjamin (1992): Historia de la matemática (páx. 360), traducíu por Mariano Martínez Pérez. Madrid: Alianza Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-X y ISBN 84-206-8186-5.Ifrah, Georges (1997): Historia universal de les cifres (páx. 1452). Madrid: Espasa-Calpe, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 y ISBN 84-239-9730-8. qu'apaez nel so llibru Coss, el primer tratáu d'álxebra escritu en alemán vulgar. El signu nun ye más qu'una forma estilizada de la lletra r minúscula pa faela más elegante, allargar con un trazu horizontal, hasta adoptar l'aspeutu actual, que representa la pallabra llatina radix, que significa raigañu. Tamién se conxetura que pudiera surdir de la evolución del puntu que n'ocasiones s'usaba enantes pa representalo, onde darréu se -y añadió un trazu oblicuu na direición del aniciando.
Darréu foise ampliando la definición de raíz cuadrada. Dellos matemáticos vieron la necesidá d'escurrir númberos que representaren la raíz cuadrada de númberos reales negativos pa poder resolver toles ecuaciones de segundu grau, pero nun va ser hasta 1777 cuando Euler simbolizara'l raíz cuadrada de –1 cola lletra i. La xeneralización de la función raíz cuadrada d'éstos da llugar al conceutu de los númberos imaxinarios y al cuerpu de los númberos complexos, daqué necesariu por que cualesquier polinomiu tenga tolos sos raigaños (teorema fundamental de la álxebra).Milton Donaire Peña. Formes y númberos. Editorial San Marcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9 La diagonalización de matrices tamién dexa'l cálculu rápidu del raigañu d'una matriz.
Función raigañu cuadrada thumb|300px|La gráfica de la función ye una semiparábola con directriz vertical.
La raíz cuadrada dexa definir una función real que'l so dominio y imaxe ye'l conxuntu (el conxuntu de tolos númberos reales non negativos). Pa cada númberu real x esta función defínese como l'únicu númberu non negativu y qu'eleváu al cuadráu ye igual a x. Consiste en topar el númberu del que se conoz el so cuadráu. La función raíz cuadrada de x espresar de les siguiente manera:
Usualmente la raíz cuadrada d'un númberu enteru nun ye un númberu racional nun siendo que'l númberu enteru sía un cuadráu perfectu, como por casu:
yá que:
La función raíz cuadrada, polo xeneral, tresforma númberos racionales en númberos alxebraicos; ye racional si y namái si x ye un númberu racional que puede escribise como fracción de dos cuadraos perfectos. Si'l denominador ye , entós trátase d'un númberu natural. Sicasí, ye irracional.
El descubrimientu de que'l raíz cuadrada de munchos númberos yera un númberu irracional atribuyir a los pitagóricos. Los babilonios y exipcios yá disponíen de medios d'envalorar numbéricamente'l raíz cuadrada, pero'l so interés paez ser eminentemente práuticu polo que nun paecen esistir referencies sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser espresada como cociente de dos númberos enteros.
La interpretación xeométrica ye que la función raíz cuadrada tresforma la superficie d'un cuadráu na llargor del so llau.
Propiedaes xenerales thumb|150px|Gráfica de la ecuación: o tamién (como función multivaluada).
Les siguientes propiedaes de la raíz cuadrada son válides pa tolos númberos reales non negativos x, y:
Con notación esponencial:
y tamién la equivalencia:
La función ye continua pa tolos númberos non negativos y derivable pa tolos númberos positivos (nun ye derivable pa una y bones la pendiente de la tanxente ende ye infinita). La so derivada ta dada por
La serie de Taylor de alredor de x = 0 y converxente pa |x| ≤ 1 puede atopase usando'l teorema del binomiu:
En cálculu, cuando se prueba que la función raíz cuadrada ye continua o derivable, o cuando se calculen ciertos Llende d'una función llendes, la siguiente igualdá ye bien útil (consiste en multiplicar y estremar pol conxugáu, vease binomiu conxugáu):
y ye válida pa tolos númberos non negativos x y y que nun sían dambos cero.
Irracionalidá de los raigaños cuadraos Una propiedá importante de la raíz cuadrada de los númberos enteros ye que, si estos nun son cuadraos perfectos, los sos raigaños son siempres númberos irracionales, que son númberos non expresables como'l cociente de dos númberos enteros. Esto ye, la raíz cuadrada d'un númberu enteru siempres va ser enteru o irracional, nunca un númberu racional non enteru.
Cualquier númberu enteru pue ser espresáu como'l productu d'una serie de factores primos elevaos a diversos esponentes. De ser toos pares, les propiedaes de la potenciación dexen amenorgar el raigañu a un númberu natural. Namái si unu o más de los factores tien un esponente impar el raigañu nun ye natural.
Si fora racional tendría de podese espresar como con p, q enteros y primos ente sigo. Alzando al cuadráu dambes partes llógrase que , lo que ye absurdu, pos a un llau queda siquier un factor primu con esponente impar ente que, al otru llau de la igualdá, tantu como espresar en función de productu de primos elevaos a esponentes necesariamente pares.
Por un amenorgamientu al absurdu llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidá de la raíz cuadrada de 2, atribuyida a Hipaso de Metaponto, un discípulu de Pitágores. La idea, contraria a esperar na matemática d'entós, supunxo la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.
Sicasí, ye esautamente'l llargor de la diagonal d'un cuadráu que'l so llau mide 1, siendo fácil la construcción gráfica del raigañu. Por ello bona parte de la matemática helénica centrar na xeometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ési. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva'l so nome, que dexa representar gráficamente cualquier raigañu, y darréu Euclides llegó a un métodu más xeneral.
Radicales xerarquizaos cuadraos
En distintos contestos utilícense radicales de la forma
qu'en dellos casos puede ser escritos na forma
lo que ye facederu si namái si x + y = A, xy = B .Alencar Filho, Edgard de: Exercicios de Geometria PlanaBruño G. M.: Elementos de Xeometría Les espresiones anteriores denominar radicales xerarquizaos.
La identidá implica que , y por repeticiones socesives:
Por razones análogues llógrase:
o que Si r ye una entidá puramente cimera a unu, Esta forma d'espresar númberos por aciu la repetición socesiva de númberos conteníos dientro de raigaños cuadraos puede tener diverses aplicaciones como la resolución de dellos tipos d'ecuación o la espresión de dellos númberos famosos como'l númberu áureo o'l númberu pi.Elementos de Xeometría de Bruño, páxs. 148, 149 y 150
Fracciones continues
Unu de los resultaos más interesantes del estudiu de númberos irracionales como fracciones continues foi llográu por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange afayó que'l raíz cuadrada de cualquier númberu enteru positivu ensin cuadrar puede representase por una fracción continua periódica, esto ye, onde asocede ciertu patrón de díxitos repetidamente nos denominadores. Nun sentíu estos raigaños cuadraos son númberos irracionales muncho más simples, porque pueden ser representaes con un patrón de díxitos de repetición simple.
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Aproximamientos enteros L'aproximamientu de raigaños cuadraos a númberos enteros ye común en ciertos problemes matemáticos, como la peñerada de Eratóstenes qu'avera nos sos cálculos la raíz cuadrada al mayor enteru tal que'l so cuadráu sía menor que'l valor del raigañu. Los aproximamientos pueden ser por defectu — usando la función trío — o por escesu — usando la función techo—. Les primeres daes por defectu: {| style="text-align: center |- ! !1 !2 !3 !4 !5 !6 !7 !8 !9 !10 !... !15 !16 !17 !... !24 !25 !26 !27 !28 |- ! |1 |1 |1 |2 |2 |2 |2 |2 |3 |3 |... |3 |4 |4 |... |4 |5 |5 |5 |5
Una observación de los primeros términos pon de manifiestu que na construcción d'esta tabla, sáltase socesivamente una medría de manera regular. Más precisamente, el cero ye repitíu una vegada, el 1 tres veces, el 2 cinco veces, el 3 siete veces, el 4 nueve veces, etc. El númberu de vegaes que l'enteru n repitir ye'l n-ésimo enteru impar. La demostración mora sobre la identidá siguiente, del tipu diferencia finita:
Estensión de la función raíz cuadrada
La raíz cuadrada d'un númberu complexu thumb|Raíz cuadrada complexa. thumb|Segunda fueya de la raíz cuadrada complexa.