Функцыя размеркавання выпадковай велічыні — гэта функцыя, якая апісвае імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, меншае за некаторы рэчаісны лік. Функцыя размеркавання задае размеркаванне выпадковай велічыні.

Азначэнне Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя , якая вызначаецца праз роўнасцьЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

У некаторых крыніцах функцыя размеркавання вызначаецца з іншым знакам:

Такое вызначэнне ўплывае на ўласцівасць непарыўнасці, робячы функцыю непарыўнай справа, а не злева (гл. § Уласцівасці).

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Уласцівасці Для функцыі размеркавання кожнай выпадковай велічыні справядлівыя наступныя ўласцівасці: . Калі , то . . Маюць месца няроўнасці , прычым Непарыўнасць злева. Для кожнага выконваецца

Для кожнай функцыі , якая адпавядае ўмовам манатоннасці, абмежаванасці і непарыўнасці злева, існуюць імавернасная прастора і выпадковая велічыня , у якой функцыя размеркавання супадае з . Іншымі словамі, кожная такая функцыя і ёсць функцыяй размеркавання для некаторай выпадковай велічыні.

Часта функцыя размеркавання задаецца праз роўнасць . У такім выпадку для яе характэрна ўласцівасць непарыўнасці справа, а не злева.

Доказы ўласцівасцей

Доказ манатоннасці Няхай . Тады , і таму

гэта значыць .

Карыстаючыся манатоннасцю імавернасці, атрымліваем

Доказ абмежаванасці Няроўнасць відавочна вынікае з .

Разгледзім улучэнні . Заўважым, што . Акрамя таго,

Па аксіёме непарыўнасці імавернасці атрымліваем

для . Няхай цяпер імкнецца да . З манатоннасці функцыі размеркавання вынікае Калі , абедзве крайнія часткі няроўнасці імкнуцца да нуля. Карыстаючыся , атрымліваем

Прадставім як суму і, скарыстаўшы злічоную адытыўнасць, атрымаем

для . Доказ для праводзіцца аналагічна папярэдняму выпадку праз тэарэму аб заціснутай функцыі.

Доказ непарыўнасці злева Возьмем адвольную нарастальную паслядоўнасць рэчаісных лікаў , якая збягаецца да . Існаванне вынікае з манатоннасці . Пакажам, што гэты ліміт роўны .

Заўважым, што і . Карыстаючыся аксіёмамі непарыўнасці і адытыўнасцю імавернасці, атрымліваем

Адсюль вынікае .

Гл. таксама Умоўная функцыя размеркавання Функцыя імавернасці Шчыльнасць імавернасці

*