Абелева група (або камутатыўная група) — група, у якой групавая аперацыя падпарадкоўваецца яшчэ і перамяшчальнаму закону, г.зн. для любых элементаў і гэтай групы справядліва тоеснасць
Часта аперацыю, для якой справядлівы перамяшчальны закон, называюць камутатыўнай.
Абелевы групы названы так у гонар нарвежскага матэматыка Нільса Абеля.
Звычайна групавую аперацыю ў абелевых групах пазначаюць знакам «» (хоць групавая аперацыя можа не мець ніякага дачынення да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент абелевай групы называюць нулём і абазначаюць як 0; адваротны элемент называюць процілеглым і абазначаюць процілегласць з дапамогай знака «» на ўзор «».
Строгае азначэнне
Аксіёмы абелевай групы Абелевай групай называецца непустое мноства разам з бінарнай аперацыяй якая задавальняе наступныя ўмовы: Перамяшчальны закон (камутатыўнасць): для любых справядліва:
Спалучальны закон (асацыятыўнасць): для любых справядліва:
Існуе нейтральны элемент г.зн. такі элемент, што для любога справядліва:
Для кожнага элемента існуе адваротны элемент г.зн. такі элемент, што
Прыклады
Для цэлых лікаў і аперацыі складання "+", абазначаных , аперацыя + камбінуе два цэлых лікі каб стварыць трэці, складанне асацыятыўнае, нейтральным элементам з'яўляецца нуль, кожны цэлы лік n мае адваротны элемент -n, а складанне камутатыўнае, таму што для давольных цэлых лікаў m і n. Кожная цыклічная група з'явўляецца абелевай, таму што калі x, y належаць да G, то . Такім чынам цэлыя лікі Z ствараюць абелеву групу з аперацыяй складання, як і астачы па модулю n , Z/nZ. Кожнае колца з'яўляецца абелевай групай, адносна аперыцыі складання. Усе элементы колца, да якіх існуе адваротны элемент адносна множання, ствараюць абелеву мультыплікатыўную групу. У прыватнасці, рэчаісныя лікі з'яўляюцца групай адносна складання. а ўсе ненулявыя рэчаісныя лікі ствараюць абелеву групу адносна множання.
Літаратура
Катэгорыя:Тэорыя груп