Дзэта-функцыя Рымана — функцыя камплекснай зменнай , якую пры вызначаюць з дапамогай рада Дзірыхле:
дзе .
У зададзенай вобласці гэты рад збягаецца, з’яўляецца аналітычнаю функцыяй і дапушчае аналітычны працяг на ўсю камплексную плоскасць без адзінкі.
Тоеснасць Эйлера
У зыходнай вобласці таксама справядліва прадстаўленне ў выглядзе бесканечнага здабытку (тоеснасць Эйлера) , дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках .
Гэта роўнасць з’яўляецца адной з асноўных уласцівасцей дзэта-функцыі.
Уласцівасці Існуюць яўныя формулы для значэнняў дзэта-функцыі ў цотных цэлых пунктах:
дзе — лік Бернулі. Напрыклад, Пра значэнні дзэта-функцыі ў няцотных цэлых пунктах вядома мала: лічыцца, што яны ірацыянальныя і нават трансцэндэнтныя, але пакуль даказана толькі ірацыянальнасць ліку ζ(3) (Ражэ Аперы, 1978). Таксама даказана, што сярод значэнняў ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) ёсць хаця б адзін ірацыянальны. Пры
дзе — функцыя Мёбіуса
дзе — лік дзельнікаў ліку
дзе — лік простых дзельнікаў ліку мае ў пункце просты полюс з вылікам, роўным 1. Дзэта-функцыя пры задавальняе ўраўненне:
дзе — гама-функцыя Эйлера. Гэта ўраўненне называецца функцыянальным ураўненнем Рымана. Для так званай ксі-функцыі Рымана
уведзенай Рыманам для даследавання , гэта ўраўненне прымае выгляд:
Нулі дзэта-функцыі
Як вынікае з функцыянальнага ўраўнення Рымана, у паўплоскасці , функцыя мае толькі простыя нулі ў адмоўных цотных пунктах:
Гэтыя нулі называюцца «трывіяльнымі» нулямі дзэта-функцыі. Далей, пры рэчаісных . Такім чынам, усе «нетрывіяльныя» нулі дзэта-функцыі — камплексныя лікі. Акрамя таго, яны размяшчаюцца сіметрычна адносна рэчаіснае восі і адносна вертыкалі і ляжаць у паласе , якая называецца крытычнаю паласою. Згодна з гіпотэзаю Рымана, яны ўсе знаходзяцца на крытычнай прамой .
Абагульненні Існуе даволі вялікая колькасць адмысловых функцый, звязаных з дзэта-функцыяй Рымана і аб’яднаных пад агульнай назваю дзэта-функцыі. Напрыклад:
Дзэта-функцыя Гурвіца:
якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры q = 1 (бо сумаванне вядзецца ад 0, а не ад 1).
Полілагарыфм:
які супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1.
Дзэта-функцыя Лерха:
якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1 і q = 1 (бо сума бярэцца ад 0, а не ад 1).
Квантавы аналаг (q-аналаг).
Гісторыя Як функцыя рэчаіснай зменнай, дзэта-функцыя была ўведзена ў 1737 годзе Эйлерам, які і знайшоў формулу яе раскладання ў здабытак. Затым гэту функцыю разглядаў Дзірыхле і, асабліва паспяхова, Чабышоў пры даследаванні закону размеркавання простых лікаў. Але найбольш глыбокія ўласцівасці дзэта-функцыі былі выяўлены пазней, пасля працы Рымана (1859), у якой дзэта-функцыя разглядалася як функцыя камплекснай зменнай.
Спасылкі
Катэгорыя:Дзэта- і L-функцыі Катэгорыя:Аналітычная тэорыя лікаў