Триъ̀гълникът е една от основните фигури в геометрията. Представлява двуизмерна фигура, многоъгълник с три страни и три ъгъла. Може да се дефинира и като част от равнината, ограничена от три точки, нележащи на една права, и трите отсечки, съединяващи тези точки. Триъгълникът няма диагонали, защото всеки връх е съседен на другите два.
Основни елементи и съотношения Основните понятия, свързани с триъгълниците, са представени от Евклид в книги 1 – 4 от „Елементи“ около 300 г. пр.н.е.
Основните елементи на триъгълника са върховете, страните и ъглите. Стандартните им означения в произволен триъгълник са дадени на чертежа вляво.
Върховете на триъгълника ABC са три точки и , които не лежат на една права линия и ограничават триъгълника. Те определят равнината, в която лежи триъгълникът. Триъгълник с върхове , и се означава като .
Страните са отсечките, свързващи върховете: , и .
Дължината на всяка страна на триъгълника е по-малка от сумата на дължините на другите две страни и по-голяма от тяхната разлика. За страните на всеки триъгълник са изпълнени неравенствата:
Периметър на триъгълника е сумата от дължините на трите му страни: .
Половината от тази стойност се нарича полупериметър: .
Ъглите на триъгълника са вътрешни и външни. Вътрешните ъгли са заключени между страните на триъгълника, а външните са съседни ъгли на вътрешните и ги допълват до 180°. Ако вътрешният ъгъл при даден връх на триъгълник е образуван от две страни, излизащи от този връх, тогава външният ъгъл на триъгълника се образува от едната страна, излизаща от този връх, и продължението на другата страна, излизащо от същия връх.
На чертежа вдясно външен ъгъл на плоския триъгълник при върха е ъгълът, съседен на вътрешния ъгъл на триъгълника при този връх. Ако не е уточнено, под ъгли на триъгълника се разбират вътрешните ъгли. На чертежа вляво те са означени с гръцките букви алфа, бета и гама или с едноименните върхове: ъгъл , ъгъл , ъгъл .
Теорема за сумата от ъглите на триъгълника
Сумата от вътрешните ъгли на всеки триъгълник винаги е равна на 180°: °.
Доказва се чрез прекарване през върха на ъгъла на права, успоредна на срещулежащата страна . като съответни ъгли, а като кръстни ъгли. Следователно за °.
Всeки три ъгъла, чиито сбор е 180°, могат да бъдат вътрешни ъгли на триъгълник. Безкрайно много триъгълници имат еднакви ъгли, тъй като определянето на ъглите на триъгълник не определя неговия размер. Условията за три ъгъла α, β и γ, всеки от които e между 0° и 180°, да бъдат ъгли на триъгълник, могат да бъдат формулирани и с помощта на тригонометрични функции. Например триъгълник с ъгли α, β и γ съществува тогава и само тогава, когато
Вътрешният и външният ъгъл могат да приемат стойности от до °, изключвайки тези стойности: °.
Синусова и косинусова теореми
Синусова теорема:
където е радиусът на описаната около триъгълника окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъгълник, ако са известни една страна и два прилежащи ъгъла. Чрез нея може да се определи и сключеният ъгъл между двете известни страни, ако се знае един от другите два ъгъла.
Косинусова теорема:
В този си вид тя е валидна за всички триъгълници (не само за правоъгълните). С нея могат да бъдат намерени всички страни и ъгли в един триъгълник, ако са известни три от страните или две от тях и ъгъла, сключен помежду им.
Видове триъгълници В зависимост от дължините на страните си триъгълникът може да бъде: Разностранен триъгълник – всичките му страни са с различни дължини и има три различни ъгъла. Равнобедрен триъгълник – дължините на две от страните, наречени бедра, са равни, а третата се нарича основа; ъглите при основата са равни. Равностранен триъгълник – дължините на трите страни са равни; ъглите също са равни и всеки от тях е 60°.
Според големината на най-големия си вътрешен ъгъл, триъгълникът може да бъде: Остроъгълен триъгълник е този триъгълник, при който всички вътрешни ъгли са по-малки от 90° (остри ъгли). Правоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има ъгъл от 90° (прав ъгъл). Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича хипотенуза и е най-дългата страна в правоъгълния триъгълник. Сборът от ъглите при хипотенузата е 90°. Другите две страни се наричат катети. Тъпоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има вътрешен ъгъл, по-голям от 90°. Сборът на другите два ъгъла е по-малък от 90°.
Остроъгълен триъгълникПравоъгълен триъгълникТъпоъгълен триъгълник
Сходства на триъгълници Еднаквост Два триъгълника са еднакви, ако съответните им страни (С) и ъгли (Ъ) са равни. Има четири признака за еднаквост на триъгълници:
1. Ако две страни и ъгъл заключен между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла заключен между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви (по първи признак – СЪС = С'Ъ'С' ).
2. Ако два ъгъла и страна на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла и страна на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви (по втори признак – ЪСЪ = Ъ'С'Ъ' , ЪЪС = Ъ'Ъ'С' ).
3. Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви (по трети признак – ССС = С'С'С' ).
4. Ако две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви (по четвърти признак – СсЪ = С'с'Ъ' ).
Съществува един често срещан частен случай на четвъртия признак: Ако катет (К) и хипотенуза (Х) в триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза в друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви (по следствие от четвърти признак КХ=К'Х'; третият елемент е правият ъгъл.)
Подобие Два триъгълника са подобни, ако ъглите на единия са равни на ъглите на другия и страните, които съединяват върховете на равните ъгли, са пропорционални. Означава се ~ . Има три признака за подобни триъгълници:
1. Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.
2. Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.
3. Ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.
Точки, прави и окръжности Височини в триъгълника са перпендикулярите, спуснати от върховете на триъгълника към срещуположните страни. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника само ако той не е тъпоъгълен. В противен случай ортоцентърът се намира извън триъгълника.
Дължината на височината , спусната към страната , може да се намери по формулите: ; за другите височини е аналогично:
.
Дължините на височините, спуснати към страните, могат да бъдат намерени също с формулите Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.: , където е радиусът на описаната окръжност около триъгълника.
Описана окръжност около триъгълник се нарича тази окръжност, която минава и през трите му върха. Симетрали в триъгълник са правите линии, които са перпендикулярни на страните и минават през средите им. Трите симетрали се пресичат в точка, която е и център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен, като се използва синусовата теорема. Теоремата на Талес гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл на триъгълника е прав.
Също така, ако центърът на описаната около триъгълника окръжност се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен.
Ъглополовящи или бисектриси в един триъгълник са тези прави, които минават през върховете на ъглите, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглополовящи е център на вписаната окръжност в триъгълника (инцентър). Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни.
Ако триъгълникът е разностранен (не равнобедрен), тогава ъглополовящата, изтеглена от всеки връх, се намира между медианата и височината, изтеглена от същия връх. Друго важно свойство на ъглополовящата е, че тя разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни.
Дължината на ъглополовящата , спусната върху страната , може да се намери с помощта на една от формулите: където е полупериметърът.
. ; тук е височина.
Формулите за останалите ъглополовящи са аналогични.
Триъгълниците имат и три външно вписани окръжности, които лежат извън триъгълника и се допират до рамената на външните ъгли на триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно вписаните окръжности формират ортоцентричната система на триъгълника.
Следващите формули позволяват да се изчислят радиусите на описаната и вписаната окръжности:
където е лицето (площта) на триъгълника, – неговият полупериметър;
где – радиуси на съответните външно вписани окръжности. Радиусът на описаната окръжност около правилен (равностранен) триъгълник със страна е: .
Още две полезни съотношения: ; Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
Съществува също формула на Карно: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
където са разстояния от центъра на описаната окръжност съответно до страните на триъгълника, – разстояния от ортоцентъра съответно до върховете на триъгълника.
Разстоянието от центъра на описаната окръжност, например до страната на триъгълника е
разстоянието от ортоцентъра, например до върха на триъгълника е
Медиани в триъгълника са правите, които минават през върховете и средите на срещулежащите им страни. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича медицентър на триъгълника.
Известна е още като центроид или център на тежестта на триъгълника. Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, тоест разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-голямо от разстоянието от медицентъра до средата на срещулежащата страна. Дължините на медианите на страните , и се определят по формулите:
Триъгълник с върхове в средните точки на медианите му се нарича медиален или срединен триъгълник. Основите на медианите на този триъгълник образуват така наречения допълнителен триъгълник.
Средите на трите страни и петите на трите височините лежат върху една окръжност – окръжността на деветте точки (окръжност на Ойлер). Останалите три точки са среди на отсечките от височините, които са заключени между върховете и ортоцентъра. Радиусът на тази окръжност е половината от радиуса на описаната около триъгълника окръжност.
Медицентърът (в жълто), ортоцентърът (синьо), центърът на описаната окръжност (зелено) и центърът на 9-точковата окръжност (в червено) лежат на една права линия, известна като права на Ойлер (червената линия). Центърът на 9-точковата окръжност е средата на отсечката, свързваща ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е равно на половината от разстоянието между медицентъра и ортоцентъра. Центърът на вписаната окръжност не лежи на тази права.
Средна отсечка на триъгълник е отсечка, съединяваща средите на две от неговите страни. Нейната дължина е равна на 1/2 от дължината на срещулежащата страна на триъгълника. Средната отсечка е успоредна на срещулежащата страна.
Лице на триъгълник Изчисляването на лицето на триъгълник може да стане по няколко начина:
Геометрично: Лицето на триъгълник е равно на полупроизведението на дължината на която и да е негова страна и височината, спусната към нея.