mini|Venov dijagram pokazuje presjek dva skupa
Teorija skupova je matematička teorija skupova, koji predstavljaju kolekcije apstraktnih objekata. Obuhvataju svakodnevnu notaciju skupa, kao što je ona uvedena u osnovnoj školi, kao kolekciju objekata, te pripadne koncepte elemenata i članstva takvih kolekcija.
Moderno proučavanje teorije skupova započeli su njemački matematičari Richard Dedekind i Georg Cantor 1870-ih godina. Georg Cantor se posebno smatra osnivačem teorije skupova. Neformalizirani sistemi istraživani tokom ove rane faze nazivaju se naivna teorija skupova. Nakon otkrića paradoksa unutar naivne teorije skupova (kao što su Russellov paradoks, Cantorov paradoks i Burali-Fortijev paradoks), početkom dvadesetog stoljeća predloženi su različiti aksiomski sistemi, od kojih je Zermelo-Fraenkelova teorija skupova (sa ili bez aksioma izbora) i dalje najpoznatija i najproučavanija. mini|236x236piksel|Porfirsko drvo Purchotiusa (1730), koje predstavlja Aristotelove Kategorije Teorija skupova se obično koristi kao temeljni sistem za cijelu matematiku, posebno u obliku Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora. Pored svoje temeljne uloge, teorija skupova također pruža okvir za razvoj matematičke teorije beskonačnosti i ima različite primjene u računarstvu (kao što je teorija relacione algebre), filozofiji, formalnoj semantici i evolucijskoj dinamici. Njena temeljna privlačnost, zajedno s njenim paradoksima i implikacijama na koncept beskonačnosti i njenim višestrukim primjenama, učinila je teoriju skupova područjem od velikog interesa za logičare i filozofe matematike . Savremena istraživanja teorije skupova pokrivaju širok spektar tema, od strukture realne brojevne linije do proučavanja konzistentnosti velikih kardinala.
U većini modernih matematičkih formalizama teorija skupova predstavlja jezik opisa matematičkih objekata. Zajedno sa logikom i predikatnim računom predstavlja jedan od aksiomatskih temelja matematike, dozvoljavajući formalnu konstrukciju matematičkih objekata iz nedefiniranih termina "skupa" i "članstva skupa". Predstavlja punopravnu granu matematike, i aktivno je područje istraživačkog rada.
U naivnoj teoriji skupova, skupovi su uvedeni koristeći tzv. samoevidentni koncept skupova kao kolekcija objekata smatranih cjelinom.
U aksiomatskoj teoriji skupova, koncepti skupa i članstva skupa su definirani indirektno postuliranjem određenih aksioma koji specificiraju njihova svojstva. Shodno ovakvoj koncepciji, skupovi i članstva skupa su fundamentalni koncepti poput tačke i crte u euklidskoj geometriji, i nisu sami po sebi definisani.
Osnovni pojam grupisanja objekata postoji barem od pojave brojeva, a pojam tretiranja skupova kao zasebnih objekata postoji barem od Porfirijevog drveta u 3. vijeku nove ere. Jednostavnost i sveprisutnost skupova otežavaju određivanje porijekla skupova kako se danas koriste u matematici; međutim, Bolzanovi Paradoksi beskonačnog ( Paradoxien des Unendlichen, 1851) se općenito smatraju prvim rigoroznim uvodom skupova u matematiku. U svom radu, on je (između ostalog) proširio Galilejev paradoks i uveo jedan-na-jedan korespondenciju beskonačnih skupova, na primjer između intervala i relacijom Međutim, on se opirao tvrdnji da su ovi skupovi jednakobrojni, a njegov rad se generalno smatra neuticajnim na matematiku njegovog vremena.
Reference
Vanjski linkovi
http://handbook.assafrinot.com/ (en) http://www.settheory.net/ (en)
Kategorija:Matematička logika Kategorija:Formalni metodi