U matematici, test divergencije n-tog članaKaczor p.336 je jednostavan test divergencije beskonačnih redova:
Ako ili ako limes ne postoji, tada red divergira.
Mnogi autori ne imenuju ovaj test ili mu samo daju kraći naziv.Na primjer, Rudin (str. 60) iskazuje samo kontrapozitivnu formu i ne imenuje ga. Brabenec (str. 156) naziva ga samo test n-tog člana. Stewart (str. 709) naziva ga test divergencije.
Upotreba
Za razliku od jačih testova konvergencije, test općeg člana ne može sam dokazati da red konvergira. To znači da suprotno od razultata testa nije nužno tačno; umjesto toga može se reći: Ako je tada red može, ali i ne mora konvergirati. Drugim riječima, ako je , test je neodlučan.
Harmonijski red je klasičan primjer divergentnog reda čiji članovi teže u nula.Rudin p.60 Općenitija klasa harmonijskih redova, tzv. hiperharmonijski red
pojašnjava razultate testa:
Ako je p ≤ 0, tada red divergira. Ako je 0 < p ≤ 1, tada je test neodlučan, ali je red divergentan po integralnom testu konvergencije. ako je 1 < p, tada je test neodlučan, ali je red konvergentan, ponovo po integralnom testu konvergencije.
Dokazi
Dokaz se dokazuje test kontrapozitivnom formom:
Ako red konvergira, tada je
Manipulacija limesima
Ako su sn parcijalne sume reda, tada pretpostavka da red konvergira znači da je
za neki broj s. Tada vrijediBrabenec p.156; Stewart p.709
Cauchyjev kriterij
Pretpostavka da red konvergira znači da je prošao Cauchyjev test konvergencije: Za svaki postoji broj N takav da
vrijedi za sve n > N i p ≥ 1. Slučaj p = 1 potvrđuje definiciju iskazaRudin (pp.59-60) uses this proof idea, starting with a different statement of Cauchy criterion.
Domet
Najjednostavnija verzija test općeg člana primjenjuj se na beskonačne redove realnih brojeva.
Reference
Kategorija:Infinitezimalni račun Kategorija:Testovi konvergencije Kategorija:Članci koji sadrže dokaz