1 + 1 + 1 + 1 + · · ·

mini|desno|200px|1 + 1 + 1 + 1 + · · · mini|desno|200px| poslije izravnanja

1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, može se pisati i kao , , ili , je divergentni red. To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva.

Niz može se posmatrati kao geometrijski niz sa zajedničkim odnosom . Za razliku od drugih geometrijskih nizova sa racionalnim odnosom (osim -1), ne konvergira u realne brojeve.

Kada se pojavi u primjeni u fizici, red 1 + 1 + 1 + 1 + · · · se može interpretirati pomoću regularizacije zeta funkcije. To je vrijednost Riemannove zeta funkcije za

Gore navedene formule ne važe za nulu, međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije, mini|desno|200px| Asimptotsko ponašanje izravnanja. U-presjek linije je

Koristeći ovaj dobija se (s obzirom da je ),

The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation 10.april 2010

u kojoj je funkcija definisana, gdje red divergira po analitičkom produženju. U tom smislu vrijedi 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1⁄2.

Može se reći da je

Lako se dokazuje matematičkom indukcijom.

Tvrdnja ne važi za jer nema smisla

U Dekartovom koordinantnom sistemu desno|250px |Dekartov koordinantni sistem U Dekartovom koordinantnom sistemu funkcija sadrži iste tačke kao funkcija

Za

Funkcija predstavlja linije u I kvadrantu za

Funkcija predstavlja linije u IV kvadrantu za .

Za :

Funkcija predstavlja linije u II kvadrantu .

Funkcija predstavlja linije u III kvadrantu za .

Demonstracija zbira desno|250px |Carl Friedrich Gauss, otkrio trouglaste brojeve

što je trouglasti broj koji je otkrio Gauss.

Formule Razlika između zbirova

Za

koji odgovara

što znači

koji odgovara

što znači

Formule koje se odnose na razliku

možemo dobiti slične

za :

što znači odnosno .

što znači odnosno

što znači odnosno

što znači odnosno .

što znači odnosno

što znači odnosno a

Opšta formula koja se odnosi na razliku

na skupu .

Formule koje se odnose na proizvod

kad pomnožimo dobijemo

Također pogledajte Grandijev red Reference

Vanjski linkovi

Izvor The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation/ 10.april 2010 Cosmology: Techniques and Observations /

Kategorija:Divergentni redovi Kategorija:Matematički redovi Kategorija:Jedan (broj)