U matematici, Dirichletov red je svaki red oblika
gdje su s i an, (n = 1, 2, 3, ...) kompleksni brojevi.
Dirichletov red igra mnogo važnih uloga u analitIčkoj teoriji brojeva. Najčešća definicija Riemannove zeta-funkcije je Dirichletov red, kao što su Dirichletove L funkcije. Pretpostavlja se da se Selbergova klasa redovao pokorava generalizovanoj Riemannovoj hipotezi. Red je dobio ime u čast Johann Peter Gustav Lejeune Dirichleta.
Primjeri
Najpoznatiji Dirichletov red je
što predstavlja Riemannovu zeta-funkciju. Drugi je:
gdje je μ(n) Möbiusova funkcija. Ovaj i mnogi drugi redovi mogu se dobiti primjenom Möbiusove formule inverzije i Dirichletove konvolucije na poznate redove. Na primjer, za dati Dirichletov karakter dobija se
gdje je Dirichletova L funkcija.
Drugi identiteti su
gdje je φ(n) Eulerova fi funkcija, i
gdje je σa(n) sigma funkcija. Drugi identiteti sa funkcijom d=σ0 su
Logaritam zeta-funkcije dat je sa
za Re(s) > 1. Ovdje je von Mangoldtova funkcija. Logaritamska derivacija je tada
Zadnje dvije formule su specijalni slučajevi općenitijeg odnosa derivacija Dirichletovog reda, datog ispod.
Za datu Liouvilleovu funkciju , imamo
Još jedan primjer uključuje Ramanujanovu sumu:
Analitičke osobine Dirichletovog reda: apscisa konvergencije
Za dati niz {an}n ∈ N kompleksnih brojeva pokušavamo odrediti vrijednost
kao funkcije kompleksne promjenljive s. Kako bi ovo imalo smisla, moramo odrediti osobine konvergencije za gornji bekonačani red:
Ako je {an}n ∈ N ograničen niz kompleksnih brojeva, tada odgovarajući Dirichletov red f konvergira apsolutno na otvorenoj poluravni s tako da je Re(s) > 1. Općenitije, ako je an = O(nk), red konvergira apsolutno na poluravni Re(s) > k + 1.
Ako je skup suma an + an + 1 + ... + an + k ograničen sa n i k ≥ 0, tada gornji beskonačni red konvergira na otvorenoj poluravni s tako da vrijedi Re(s) > 0.
U oba slučaja f je analitička funkcja odgovarajuće otvorene poluravni.
Općenito, apscisa konvergencije Dirichletovg reda je prekid realne ose vertikalne linije u kompleksnoj ravni, takav da postoji konvergencija sa lijeve, a divergencija sa desne strane. Ovo je analogno za Dirichletov red radijusa konvergencije za potencijalne redove. Slučaj kod Dirichletovog reda je komplikovan, jer se apsolutna konvergencija i uniformna konvergencija mogu javiti u različitim poluravnima.
Derivacije
Za dato
za potpuno multiplikativnu funkciju ƒ(n), te pretpostavljajući da red konvergira za Re(s) > σ0, dobijamo da
konvergira za Re(s) > σ0. Ovdje, je von Mangoldtova funkcija.
Proizvodi
Pretpostavimo
i
Ako su oba F(s) i G(s) apsolutno konvergentni za s > a i s > b tada imamo
Ako je a = b i ƒ(n) = g(n) imamo
Transformacije integrala
Mellinova transformacija Dirichletovog reda data je Perronovom formulom.
Također pogledajte
Regularizacija zeta-funkcije
Reference
Vanjski linkovi https://www.wolframalpha.com/input?i=dirichlet+series G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915). The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
Kategorija:Zeta i L-funkcije Kategorija:Matematički redovi