desno|mini|Arhimedova slika sa a = 3/4 U matematici, beskonačni red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · je primjer jednog od prvih beskonačnih redova koji je ikada sumiran u historiji matematike; koristio ga je Arhimed oko 250.–200. p. n. e.Shawyer and Watson p. 3. Njegova suma iznosi 1/3. Općenitije, za bilo koje a, beskonačan geometrijski red, čiji je prvi član a i čiji je omjer 1/4, je konvergentan sa sumom

Vizuelno prikazivanje

lijevo|mini|3s = 1. Red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · ima prilično jednostavan vizuelni prikaz zato i kvadrat i trougao dijele površinu na četiri slična dijela, od kojih svaki predstavlja 1/4 površine originala.

Na slici desno,Nelsen and Alsina p. 74.Ajose and Nelson. ako se pretpostavi da veliki kvadrat ima površinu 1, tada najveći crni kvadrat ima površinu (1/2)*(1/2) = 1/4. Slično tome, drugi najveći crni kvadrat ima površinu 1/16, a treći 1/64. Površina koju zauzimaju svi crni kvadrati tada iznosi 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·, a isto toliko iznosi i površina koju zauzimaju sivi i bijeli kvarati. Pošto ove tri površine prekrivaju jediničnu površinu, slika nam pokazuje da

Arhimedova vlastita ilustracija, prikazana na vrhu,Heath p.250 bila je malo različita i bila je bliža jednačini

desno|mini|3s = 1 again

Pogledajte dole za Arhimedovu interpretaciju.

Ista geometrijska strategija funkcioniše na trouglovima, kao što je prikazano na slici desno:Stein p. 46.Mabry. ako veliki trugao ima površinu 1, tada najveći crni trougao ima površinu 1/4, i tako dalje. Figura u cjelini posjeduje samosličnost između velikog trougla i njegovih pod-trouglova (manji trouglovi).

Arhimed

Arhimed se sreo sa redovima u svoj radu Kvadratura parabole. On je računao površinu unutar parabole metodom iscrpljenja, te je, kao rezultat, dobio niz trouglova;u svakom narednom koraku u konstrukciji dodaje površinu od 1/4 od površine prethodnog koraka. Tražio je rezultat u kojem je ukupna površina 4/3 površine prvog koraka. Kako bi to dobio, Arhimed je uveo slijedeću tvrdnju (teoremu):

Tvrdnja 23. Za dati red površina A, B, C, D, … , Z, od kojih je A najveća, a svaka naredna je veća četiri puta od slijedeće u redu, tada je This is a quotation from Heath's English translation (p.249).

Arhimed je dokazuje ovu tvrdnju najprije sa proračunim

Sa druge strane,

Oduzimanjem ove jednačine od prethodne dobijamo , te dodajući A na obje strane, dobijamo željeni rezultat.This presentation is a shortened version of Heath p.250.

Danas, standardniji iskaz Arhimedove tvrdnje je da su parcijalne sume reda 1 + 1/4 + 1/16 + · · ·:

Ovaj oblik može se dokazati množenjem obje strane sa 1 − 1/4, gdje bi se većina članova na lijevoj strani pokratilo u parovima. Ovaj način funkcioniše kod većine konačnih geometrijskih redova.

Limes

Archimedesova tvrdnja 24 primjenljuje konačnu (ali neodređenu) sumu u tvrdnji 23 na površinu unutar parabole preko dvostrukog reductio ad absurdum. On u stvariModern authors differ on how appropriate it is to say that Archimedes summed the infinite series. For example, Shawyer and Watson (p.3) simply say he did; Swain and Dence say that "Archimedes applied an indirect limiting process"; and Stein (p.45) stops short with the finite sums. ne uzima limes gore navedenih parcijalnih suma, ali u modernom kalulusu ovaj korak je prilično lagan:

Pošto je suma beskonačnog reda definisana sa limesom njegovih parcijalnih suma,

Zabilješke

Reference Page images at HTML with figures and commentary at

Kategorija:Matematički redovi