Binet–Cauchyjev identitet

U algebri, Binet–Cauchyjev identitet, koji je naziv dobio po Jacquesu Philippeu Marie Binetu i Augustinu Louisu Cauchyju, kaže da je

za svaki izbor realnih ili kompleksnih brojeva (ili općenitije, elemenata komutativnog prstena). Ako uzmemo da je ai = ci i bi = di, dobijamo Lagrangeov identitet, koji je jača varijanta Cauchy-Schwarzove nejednakosti za Euklidov prostor .

Binet–Cauchyjev identitet i vanjska algebra

Kada je n = 3, prvi i drugi član na desnoj strani postaju kvadratni intenziteti skalarnih i vektrskih proizvoda, respektivno; u n dimenzija ovi postoju intenziteti skalarnih i vanjskih proizvoda. To možemo zapisati kao

gdje su a, b, c i d vektori. Također se može zapisati kao formula koja daje skalarni proizvod dva vanjska proizvoda

Dokaz

Proširenjem posljednjeg člana,

gdje su drugi i četvrti član dodani kako bi kompletirali sumu, kao što slijedi:

Ovim je dokaz zavešen, nakon što se faktorišu članovi sa indeksom i. mini|125x125piksel|Jacques Binetmini|Augustin-Louis Cauchy|132x132piksel

Reference

Vanjski linkovi

https://archive.org/details/determinantsmatr0000aitk http://ndl.ethernet.edu.et/bitstream/123456789/22984/1/David%20A.%20Harville.pdf

Kategorija:Nejednakosti Kategorija:Multilinearna algebra Kategorija:Članci koji sadrže dokaz