Penneyeva igra, nazvana po njenom otkrivaču Walteru Penneyu, binarna je igra između dva igrača kojom se kreira niz kombinacije pismo/glava. Na početku igre, dva igrača se slažu na dužinu niza koji će se napraviti. Ova dužina je često tri, ali može biti i veći broj. Igrač A tada bira niz glava i pisama zahtjevane dužine, te pokazuje svoj niz igraču B. Igrač B tada bira drugi niz glava i pisama iste dužine. Naknadno, novčić se baca dok bilo koji igrač ne dobije svoj niz bacanjem novčića. Igrač čiji se niz prvi pojavi pobjeđuje.
Omogućeni nizovi se s najmanjom dužinom tri koriste, drugi igrač (B) ima prednost u odnosu na prvog igrača (A). Ovo je zbog toga jer je igra neprelazna tako da za svaki dati niz dužine tri ili više je moguće naći slijedeći niz koji ima veću vjerovatnoću da se pojavi prvi.
Analiza trobitne igre Za trobitni niz igre, drugi igrač može povećati svoje šanse izabiranjem nizova prema: Izbor igrača 1Izbor igrača 2Izgledi u korist igrača 2GGG PGG 7:1GGP PGG 3:1GPG GGP 2:1GPP GGP 2:1PGG PPG 2:1PGP PPG 2:1PPG GPP 3:1PPP GPP 7:1
Lahak način da se zapamti niz jest korištenje trika drugog igrača da počne sa suprotnim od srednjeg izbora prvog igrača, te da ga dalje poprati prvim dvama izbora prvog igrača. Tako da za izbor prvog igrača 1-2-3 drugi igrač mora izabrati (ne-2)-1-2 gdje je (ne-2) suprotno od drugog izbora prvog igrača.Predicting a coin toss by Scam School (@ YouTube)
Intuitivno objašnjenje za ovaj rezultat je taj da u bilo kojem slučaju gdje niz nije odmah izbor prvog igrača, šanse da prvi igrač dobije njihov početak niza, otvara dva izbora, često su šanse da će drugi igrač dobiti svoju punu sekvencu. Tako da će drugi igrač player najvjerovatnije "završiti prije" prvog igrača.
Strategija za više od tri bita Optimalna strategija za prvog igrača(za svaku dužinu sekvence ne manje od 4) otkrivena je od strane J.A. Csirika (v. reference). To je odabir GPPPP.....PPPGG ( P-ova) u kojem slučaju maksimalni izgledi drugog igrača su da pobijedi: .
Varijacija s kartama Jedna sugerirana varijacija na Penneyevu igru koristi špil običnih karata. Humble-Nishiyama igra slučajnosti prati isti format koristeći crvene i crne karte, umjesto pisma i glave.Winning Odds by Yutaka Nishiyama and Steve HumbleHumble-Nishiyama Randomness Game - A New Variation on Penney’s Coin Game on CiteSeer Igra se igra prema sljedećim metodama. Na startu igre svaki igrač određuje svoj niz sa tri boje karte za čitavu igru. Karte se tada preokrenu jedna po jedna i postave u liniju, sve dok se izabrani niz ne pojavi. Pobjednik uzima okrenute karte, pobjeđujući taj "trik". Igra se nastavlja s ostatkom neiskorištenih karata, s igračima koji sakupljaju trikove kako njihovi nizovi nadolaze, sve dok sve karte u špilu ne budu iskorištene. Pobjednik igre je igrač koji je pobijedio više tih trikova. Prosječna igra sastoji se od oko 7 "trikova". Kako ova igra ima jednakost sa igrom novčićem, drugi igrač ima mnogo veće šanse da pobijedi. Mogućnosti za to su blago drugačije jer su izgledi za svaki okretaj novca nezavisni dok su izgledi za uzimanje crne ili crvene karte svaki put zavisni od prethodnih uzimanja. Treba zapaziti da HHT je 2:1 favorit u odnosu na HTH i HTT, ali šanse su različite za BBR u odnosu na BRB i BRR.
Ispod se nalaze mogućnosti ishoda za svaku strategiju:
Izbor igrača 1Izbor igrača 2Mogućnost da pobijedi igrač 1Mogućnost da pobijedi igrač 2Mogućnost neriješenog rezultataBBB RBB 0,11% 99,49% 0,40%BBR RBB 2,62% 93,54% 3,84%BRB BBR 11,61% 80,11% 8,28%BRR BBR 5,18% 88,29% 6,53%RBB RRB 5,18% 88,29% 6,53%RBR RRB 11,61% 80,11% 8,28%RRB BRR 2,62% 93,54% 3,84%RRR BRR 0,11% 99,49% 0,40%
Ako je igra završena nakon prvog trika, postoji minimalna šansa za remi. Šanse drugog igrača da pobijedi su prikazani u tabeli ispod.
Izbor igrača 1Izbor igrača 2Izgledi u korist igrača 2 BBB RBB 7,50 : 1BBR RBB 3,08 : 1BRB BBR 1,99 : 1BRR BBR 2,04 : 1RBB RRB 2,04 : 1RBR RRB 1,99 : 1RRB BRR 3,08 : 1RRR BRR 7,50 : 1
Također pogledajte Netranzitivna igra
Reference
Walter Penney, Journal of Recreational Mathematics, oktobar 1969, str. 241. Martin Gardner, "Time Travel and Other Mathematical Bewilderments", W. H. Freeman, 1988. L.J. Guibas i A.M. Odlyzko, "String Overlaps, Pattern Matching, and Nontransitive Games", Journal of Combinatorial Theory Series A. Volume 30, Issue 2, (1981), str. 183–208. Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy, "Winning Ways for your Mathematical Plays", 2nd Edition, Volume 4, AK Peters (2004), str. 885. S. Humble i Y. Nishiyama, "Humble-Nishiyama Randomness Game - A New Variation on Penney's Coin Game", IMA Mathematics Today. Vol 46, No. 4, august 2010, str. 194–195. Steve Humble i Yutaka Nishiyama, "Winning Odds" , Plus Magazine, Issue 55, juni 2010. Yutaka Nishiyama, Pattern Matching Probabilities and Paradoxes as a New Variation on Penney’s Coin Game, International Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol.59, No. 3, 2010, str. 357-366. Ed Pegg Jr., "How to Win at Coin Flipping", Wolfram Blog, 30. novembar. 2010.
Vanjski linkovi Igrajte Penneyevu igru protiv računara (potrebna starija verzija Jave)
Kategorija:Matematičke igre