En matemàtiques, els nombres reals () informalment es poden concebre com els nombres associats a longituds o qualsevol mena de magnitud física que se suposa que és contínua. Per tant, en aquest sentit, són els nombres que es poden obtenir quan es mesuren magnituds contínues.
El fet que una magnitud sigui contínua vol dir que es pot dividir en parts tan petites com es vulgui fins a l'infinit. Això fa que el conjunt de nombres necessari per a representar aquesta mena de magnituds ha d'admetre una quantitat infinita de decimals sense poder imposar que siguin periòdics. En altres paraules, són els racionals (que es poden escriure en forma de fracció) completats pels nombres la representació decimal dels quals és infinita no periòdica,En efecte, un nombre (real) és racional si el seu desenvolupament decimal és periòdic. Per exemple, 1/3=0,333333… és racional. tals com l'arrel quadrada de 2 i π. Aquests últims es diuen nombres irracionals. Entre els nombres reals es distingeix també els nombres algebraics i els nombres transcendents.
El terme de nombre real apareix per primera vegada el 1883 a les publicacions de Georg Cantor sobre els fonaments de la teoria dels conjunts. És un retrònim, creat en resposta al descobriment dels nombres imaginaris. Els nombres reals són al centre de la disciplina matemàtica de l'anàlisi real, a la qual deuen una gran part de la seva història.
La notació original del conjunt dels nombres reals és . Tanmateix, com que les lletres en negreta són difícils d'escriure sobre una pissarra o un full, s'ha imposat la notació .
En matemàtiques, la paraula "real" es fa servir com a adjectiu, amb el significat que el cos subjacent és el cos dels nombres reals. Per exemple, matriu real, polinomi real, i Àlgebra de Lie real. miniatura|center|350px|Representació de la recta real amb exemples de constants reals.
En la vida quotidiana Els nombres reals poden representar qualsevol mesura tal com: el preu d'un producte, la duració entre dos esdeveniments, l'altitud (positiva o negativa) d'un indret geogràfic, la massa d'un àtom o la distància de la més llunyana de les galàxies. Una part dels nombres reals es fa servir cada dia, per exemple en economia, en informàtica, en matemàtiques, en física o en enginyeria. La major part del temps, només es fan servir certs subconjunts dels reals: els naturals que són els enters positius, els enters, són els que designen quantitats no fraccionables en parts més petites que la unitat. els racionals, que són els que es poden expressar amb una fracció que té el numerador i el denominador enters, els decimals, que són els racionals que es poden escriure exactament en base 10, els nombres algebraics, els que són arrel d'un polinomi de coeficients enters. els nombres calculables que comprenen la quasi totalitat dels nombres que es fan servir en ciència i en enginyeria (per exemple el nombre e i el nombre π).
Encara que tots aquests subconjunts dels reals siguin de cardinalitat infinita, són tots numerables i no representen, per tant més, que una ínfima part del conjunt dels nombres reals.
En ciència La física utilitza els nombres reals com a conjunt de mesura per dues raons essencials: Els resultats dels càlculs de física donen freqüentment nombres que no són racionals, sense que els físics no tinguin en compte la naturalesa d'aquests valors en els seus raonaments. La ciència utilitza conceptes com la velocitat instantània o l'acceleració. Aquests conceptes procedeixen de teories matemàtiques per a les quals el conjunt dels reals és una necessitat teòrica. A més, si el conjunt de les mesures és l'espai dels nombres reals, aquests conceptes tenen unes propietats fortes i indispensables. Per contra, el físic no pot obtenir mesures de precisió infinita. La representació numèrica del resultat d'un càlcul es pot apropar tant com es vulgui per un nombre decimal. En l'estat actual de la física, és fins i tot teòricament impossible obtenir mesures de precisió infinita. És per això què, tant per necessitats experimentals com teòriques, si el físic calcula les mesures en , expressa els resultats numèrics en forma de nombres decimals.
Així el físic utilitza les propietats dels nombres reals (que permeten donar un sentit a les mesures que realitza i ofereixen teoremes potents) per demostrar les seves teories. Per als valors numèrics, es conforma amb els nombres decimals. Quan mesura la distància que recorre un sòlid sobre un cercle complet, utilitza el valor sense qüestionar-ne l'existència, però sovint, amb un nombre petit de decimals en té prou per als càlculs.
Finalment, encara que els nombres reals puguin representar qualssevol grandària física, i encara que aquest espai posseeixi sovint més mesures que les que és possible utilitzar, els nombres reals no són adequats per treballar sobre molts problemes físics. S'han hagut de crear extensions dels reals per poder manipular certs espais físics. Per exemple: l'espai Per a modelitzar l'espai, per exemple de dimensió 2, 3 (o més); el conjunt dels nombres complexos l'estructura dels quals té propietats més fortes que la del conjunt dels nombres reals.
Consideracions tecnològiques Els nombres reals es poden pensar com a representats sota la forma d'un desenvolupament decimal infinit. En teoria, s'hauria de poder representar qualsevol grandària. A la pràctica, aquests nombres amb desenvolupament decimal infinit no s'adapten als càlculs i no són representables en ordinadors. Els economistes i els enginyers els utilitzen en forma arrodonida, truncant o arrodonint el desenvolupament decimal infinit. Habitualment els comerciants fan un arrodoniment a dues xifres després de la coma.
Els informàtics, encara que disposen de tipus de dades tals com els nombres de coma flotant (float o doble en pseudocodi) i de coma fixa, de fet no utilitzen més que aproximacions adaptades als càlculs informàtics. Per representar exactament certs reals en un ordinador, caldria disposar d'una memòria infinita o d'un processador dedicat als càlculs simbòlics.
Primeres observacions sobre la noció de «desenvolupament decimal infinit» Tot nombre real pot ser representat sota la forma de «desenvolupament decimal infinit». Aquesta definició pot semblar més senzilla que altres utilitzades normalment pels matemàtics. Tanmateix, apareix ràpidament poc adaptada i implica definicions i demostracions més aviat complexes. En efecte, els nombres reals són interessants per a l'estructura i les propietats del conjunt que formen: addició, multiplicació, relació d'ordre, i les propietats que lliguen aquestes nocions. Aquestes propietats es reflecteixen malament per la definició «desenvolupament decimal infinit» i apareixen problemes teòrics:
Certs nombres tenen dues representacions.
Per exemple, el nombre (els 9 segueixen fins a l'infinit), verifica l'equació . El nombre (els 0 segueixen fins a l'infinit) n'és igualment solució.<ref>Vegeu també Demostració de la igualtat entre 0,9999… i 1..</ref> Ara bé l'existència i la unicitat de la solució a aquesta equació són dues propietats essencials per a una definició unívoca dels reals. Per resoldre aquesta situació, es fa necessari identificar les representacions decimals que són solucions d'una mateixa equació: la definició es fa més complexa. Utilitzar un desenvolupament decimal fa tenir un paper particular a la base 10. Aquesta dificultat no és invencible. Es resol amb la utilització d'una base qualsevol: es parla llavors de desenvolupaments en base pàg. Llavors és possible demostrar que els conjunts construïts a partir d'aquestes bases són isomorfs i que les propietats dels nombres reals són vàlides per a totes aquestes bases. Tanmateix les demostracions es fan pesades, i la definició perd de la seva simplicitat. Finalment els algorismes naturals per efectuar una suma o una multiplicació, troben el seu límit a conseqüència de la doble representació dels nombres decimals. En efecte, el que es «porta» es calcula de la dreta cap a l'esquerra, i un algorisme efectiu demana no tractar més que un nombre finit de decimals, és a dir, truncar els nombres sobre els quals es calcula: es pot truncar tan lluny com es vulgui, i no tenir mai cap decimal exacte, per exemple el càlcul 0,33…+0,66…=1. Superar aquesta dificultat demana fer servir nocions de convergència, que porten de manera natural cap a altres modes de definir els reals. Tanmateix, una vegada establerta l'estructura del conjunt dels nombres reals, la notació per desenvolupament decimal permet fer càlculs efectius, tenint present que no és tant els decimals exactes d'un nombre el que compta, sinó la posició del nombre respecte dels altres reals.
Aspecte històric Origen dels nombres Utilització de les fraccions Des de l'antiguitat s'ha plantejat la necessitat de representar una grandària mesurable, per exemple, una longitud o una duració. La primera resposta va ser la construcció de les fraccions, el quocient de dos enters positius. Aquesta solució, obtinguda molt aviat amb els Sumeris i els Egipcis, és força eficient. Permet apropar una longitud qualsevol amb tanta precisió com es vulgui.
Correspondència amb les longituds miniatura|Euclidis La primera formalització sistemàtica que es coneix és fruit del treball d'Euclides Segle III aC. Aporta en una construcció, continguda en els Elements, dues grans idees d'una importància cabdal en la història de les matemàtiques.
Les matemàtiques es formalitzen en axiomes, teoremes i demostracions. Llavors es pot construir un sistema, amb teoremes les demostracions dels quals es basen en altres teoremes. Les matemàtiques es classifiquen en categories, la geometria i l'aritmètica en són les dues més grans. Parlar de construcció pren llavors tot el seu sentit.
Es construeix un pont entre les dues grans categories. Aquest pas, que permetent utilitzar resultats d'una de les branques de les matemàtiques per entendre l'altra, és molt potent. Llavors, els nombres es posen en correspondència amb les longituds dels segments.
Problemes d'incompletesa Irracionalitat de l'arrel quadrada de 2
miniatura|El quadrat blau té una superfície doble de la del quadrat gris
L'enfocament d'Euclides posa en evidència la primera contradicció entre la noció de nombre de l'època - les fraccions - i el paper que els és atribuït, la representació d'una grandària mesurable. Una longitud, el quadrat de la qual és igual a 2, existeix. Un raonament geomètric, ja vell en l'època d'Euclides, mostra que és possible construir un quadrat B de superfície doble de la d'un quadrat inicial A que s'escull de costat igual a 1. Si s'escriu la longitud del costat del quadrat B, que és igual a la longitud de la diagonal del quadrat A, llavors es verifica la igualtat .
Una longitud, el quadrat de la qual és igual a 2, no existeix en forma de fracció. A partir d'alguns resultats en aritmètica, que ja eren coneguts en aquella època, per exemple el Lema d'Euclides, es demostra que cap nombre no pot ser l'arrel quadrada de 2. Aquí, nombre significa fracció positiva, ja que encara no era imaginable cap altra formalització de nombre.
Els Elements d'Euclides es fonamenten en una d'axiomàtica que sembla permetre demostrar alhora que una proposició és verdadera i falsa. Caldran més de dos mil·lennis perquè la humanitat pugui resoldre aquesta aparent contradicció, explicar per què els racionals no representen més que imperfectament la recta real i trobar com representar-la bé.
S'ha de notar que tres segles abans d'Euclides, en Pitàgores probablement coneixia la irracionalitat de certes arrels. Per contra, la primera formalització en un verdader corpus matemàtic construït ens ve d'Euclides.
Desenvolupament decimal il·limitat no periòdic