miniatura|Realització d'una banda de Möbius, a partir d'una tira de paper. La banda té només una cara. miniatura|En una esfera, la suma dels angles d'un triangle no és igual a 180° (vegeu trigonometria esfèrica). Una esfera no és un espai euclidià, però localment les lleis de la geometria euclidiana són bones aproximacions. En un triangle petit en l'esfera de la terra, la suma dels angles és molt similar a 180°. Una esfera es pot representar per una col·lecció de mapes bidimensionals; per això una esfera és una varietat.
En matemàtiques, més específicament en topologia, una varietat és un espai topològic en el qual tots els punts tenen un veïnat que «s'assembla» (és a dir, és homeomorf) a l'espai euclidià. La dimensió d'una varietat és la dimensió de l'espai euclidià amb què es relaciona: si és amb una recta és unidimensional, amb un pla bidimensional, etc. Encara que una varietat s'assembla a l'espai euclidià localment, l'estructura global de la varietat pot ser molt més complicada. Per exemple, qualsevol punt en una superfície esfèrica té una regió petita que l'envolta que es pot assimilar a una regió del pla (com en un atles del món), tot i que l'esfera no es pot fer correspondre completament al pla: no és homeomorfa al pla.
Les varietats són importants en matemàtiques, principalment després que s'hi afegeixi una estructura addicional. Per exemple, les varietats diferenciables tenen definida un estructura diferenciable (amb la qual es pot reproduir el càlcul infinitesimal), mentre que les varietats riemannianes són varietats diferenciables que també tenen un producte escalar definit en el seu fibrat tangent (que permet calcular distàncies i angles, així com longituds de corbes), les varietats simplèctiques com per exemple l'espai de les fases en mecànica clàssica, o en quatre dimensions les varietats pseudoriemannianes emprades com a model de l'espaitemps en relativitat general.
També podríem definir una varietat com un espai topològic abstracte, construït en enganxar de manera apropiada espais més simples. De la mateixa manera que els nens es diverteixen construint amb paper tetraedres, cubs i altres poliedres, dibuixant la figura en un full, tallant-ne les vores, plegant i enganxant, els matemàtics obtenen un cercle unint els extrems d'un segment, i un cilindre o un con plegant una tira plana sobre ella mateixa. Un altre exemple clàssic és la banda de Möbius. També és possible afegir nanses a una esfera.
Entre les varietats més simples figuren les corbes i les superfícies del pla i de l'espai euclidià. Tot i que tradicionalment es defineixen a partir d'equacions, les superfícies (per exemple) també es poden definir, igual que els poliedres, enganxant «trossos de pla» segons unes «instruccions de muntatge». Aquesta és la manera general de definir les varietats.
És difícil dir qui va ser el primer que va estudiar les corbes i les superfícies. Gauss disposava de la notació de superfície abstracta, però la noció de varietat general en una dimensió qualsevol s'atribueix a Bernhard Riemann. Les varietats són el marc natural per a l'estudi de nombrosos problemes de matemàtiques i de física, ja que permeten treballar en un marc més ampli que el que proporcionen els espais vectorials. A vegades aquests s'anomenen espais plans en oposició als espais corbats que són les varietats.
Les varietats constitueixen a la vegada un marc i un subjecte d'estudi comú tant per matemàtics com a físics. Les varietats són bones eines de treball per a formalitzar la teoria de la relativitat general d'Einstein i són indispensables en la recerca de noves teories físiques, com la teoria de cordes, la teoria de membranes, ... També han esdevingut eines útils (fins i tot indispensables) en els recents treballs de mecànica clàssica.
Exemples Circumferència
miniatura|Figura 1: Els quatre plànols, cadascun fa correspondre part de la circumferència a un interval obert, i junts cobreixen la circumferència sencera. Després d'una recta, la circumferència és l'exemple més simple d'una varietat topològica. La topologia ignora la curvatura, així una peça petita d'una circumferència és exactament igual a una peça petita d'una recta. Considereu, per exemple, la primera meitat de la circumferència de radi unitat, x² + y² = 1, on la coordenada y és positiva (indicada per l'arc groc a la Figura 1). Qualsevol punt d'aquesta semicircumferència es pot descriure de manera única per la seva coordenada x. Així, la projecció sobre la primera coordenada és contínua, i invertible, i fa correspondre el semicercle de dalt a l'interval obert (1,1):
Aquestes funcions conjuntament amb les regions obertes que relacionen s'anomenen cartes. De manera similar, hi ha cartes per al fons (vermell), esquerra (blau), i dreta (verd) de la circumferència. Juntes, aquestes parts cobreixen la circumferència sencera i les quatre cartes formen un atles per al cercle.
La part superior i la de la dreta se superposen: la seva intersecció és en el quart del cercle on tant la coordenada x com la coordenada y són positives. Les dues cartes χdalt i χdreta fan correspondre aquesta part a l'interval (0,1). Així es pot construir una funció T de (0,1) en si mateix, fent servir primer l'invers de la primera carta per arribar al cercle i llavors la carta dreta per anar altra vegada a l'interval. Sia a un nombre qualsevol de l'interval (0,1), llavors:
D'aquest tipus de funció se'n diu una funció de transició.
miniatura|Figura 2: Una varietat circular amb una carta basada en el pendent, ho cobreix tot excepte un punt de la circumferència.
Les cartes dalt, baix, dreta i esquerra mostren que aquesta circumferència és una varietat, però no formen l'únic atles possible. Les cartes no cal que siguin projeccions geomètriques, i el nombre de cartes fins a cert punt és una qüestió d'elecció. Per exemple les cartes
i
Aquí s és el pendent de la línia que passa pel punt de coordenades (x,y) i el punt pivot fix (-1,0); t és la imatge especular, amb el punt pivot (+1,0). La funció inversa que des de s a (x,y) ve donada per
Es pot confirmar fàcilment que x²+y² = 1 per a tots els valors del pendent s. Aquestes dues cartes proporcionen un segon atles per la circumferència, amb
Cada carta omet un únic punt, ja sigui (-1,0) per a s o (+1,0) per a t, així no n'hi ha prou amb cap carta sola per cobrir la circumferència sencera. Es pot demostrar que no és possible cobrir la circumferència sencera amb només una única carta. Per exemple, encara que és possible construir un cercle a partir d'un únic interval de recta encavalcant i "enganxant" els extrems, això no produeix una carta; una porció de la circumferència es farà correspondre als dos extrems al mateix temps, perdent-se la invertibilitat.
Altres corbes miniatura|Quatre varietats a partir de corbes algebraiques: ■ circumferències, ■ paràboles, ■ hipèrboles, ■ cúbica. Les varietats no necessàriament han de ser connexes (tot "d'una peça"); un exemple és un parell de circumferències separades. No cal que siguin tancades; així un segment de recta sense els seus punts extrems és una varietat. I són no numerables; així una paràbola és una varietat. Combinant aquestes possibilitats, dos exemples més de varietats són: una hipèrbola (dues peces obertes, infinites) i el lloc geomètric de punts de la corba cúbica y² = x3−x (una peça formant un llaç tancat i una peça oberta infinita).
Tanmateix, s'exclouen de ser varietats exemples com dos cercles que es toquen en un únic punt per formar un figura de 8; perquè fins i tot amb la deformació que permet la topologia, en el punt compartit no es pot crear una carta satisfactòria. La proximitat del punt compartit s'assembla a un encreuament "+", i no una línia (un + no és homeomorf a un interval tancat (segment de recta), ja que suprimint el punt central del + dona un espai amb quatre components (és a dir peces) mentre que suprimint un punt d'un interval tancat dona un espai amb dues peces com a màxim; les operacions topològiques sempre conserven el nombre de peces).
Cercle enriquit Enriquint una varietat a base d'afegir-li altes estructures s'obtenen diferents tipus de varietats.
Des del punt de vista del càlcul infinitesimal, la funció de transició de la circumferència T (és a dir la funció que fa correspondre als punts del cercle els del segment) és simplement una funció entre intervals oberts, això dona significat a l'afirmació de què T és diferenciable. La funció de transició T és diferenciable a (0, 1); per això, amb aquest atles el cercle és una varietat diferenciable. També és contínuament derivable i analític perquè aquesta funció de transició també té aquestes propietats.
Altres propietats de la circumferència permeten satisfer els requisits de tipus més especialitzats de varietat. Per exemple, la circumferència permet la noció de distància entre dos punts: la llargada de l'arc entre els punts; per això és una varietat riemanniana.
Història L'estudi de les varietats combina moltes àrees importants de matemàtiques: generalitza conceptes com el de corba i superfície i els combina amb idees procedents de l'àlgebra lineal i la topologia.
Desenvolupaments previs Abans del concepte modern de varietat hi havia uns quants resultats importants.
La geometria no euclidiana estudia espais on falla el postulat de les paral·leles d'Euclides. Saccheri fou el primer en estudiar-la el 1733.Saccheri, Euclides ab omni naevo vindicatus, 1733 Cent anys més tard, Lobachevsky, Bolyai, i Riemann la varen desenvolupar. La seva investigació descobria dos tipus d'espais, les estructures geomètriques dels quals difereixen de l'espai euclidià clàssic; aquests tipus donaren lloc a la geometria hiperbòlica i la geometria el·líptica. En la teoria moderna de varietats, aquestes idees corresponen a varietats riemannianes amb curvatura constant, negativa i positiva respectivament.
Carl Friedrich Gauß potser va estar el primer en considerar els espais abstractes com a objectes matemàtics per dret propi. Biografia de Gauss al lloc web MacTutor de la universitat de St Andrews El seu teorema egregi dona un mètode per calcular la curvatura d'una superfície sense fer referència a un espai de dimensió superior en el que està submergida.C.F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827 Tal superfície, en la terminologia moderna, seria anomenada una varietat; i en termes moderns, el teorema demostrava que la curvatura de la superfície és una propietat intrínseca. La teoria de varietats se centra exclusivament en aquestes propietats intrínseques (o invariants), mentre que en gran part ignora les propietats extrínseques fruit de què es pugui entendre la superfície com un objecte submergit en un espai de dimensió superior.
Un altre, l'exemple més topològic d'una propietat intrínseca d'una varietat és la seva característica d'Euler. Leonhard Euler va demostrar que per a un políedre convex en l'espai euclidià tridimensional amb V vèrtexs, A arestes, i C cares, V-A+C= 2.Descartes també havia enunciat el següent teorema que és equivalent al d'Euler, però que va romandre inèdit fins al : "Prenent l'angle recte com a unitat, la suma dels angles de totes les cares d'un políedre convex és igual a quatre vegades el nombre de vèrtex menys dos" Note sur un Mémoire de Descartes longtemps inédit, et sur les titres de son auteur à la priorité d'une découverte dans la théorie des polyèdre, par M. De Jonquières, Académie des sciences (France). Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 1835. 1890 (T. 110). p261-266