miniatura|500px|La mitjana aritmètica com a resum de l'edat dels habitants d'un país i, indirectament, del seu nivell de desenvolupament. En estadística un paràmetre estadístic, mesura estadística o paràmetre poblacional és un valor representatiu d'una població, com per exemple la mitjana aritmètica, la proporció d'individus que presenten determinada característica, o la desviació típica. Un paràmetre és un nombre que resumeix la gran quantitat de dades que poden recollir-se en l'estudi d'una variable estadística. El càlcul d'aquest nombre està ben definit, usualment, mitjançant una fórmula aritmètica obtinguda a partir de dades de la població. Els paràmetres estadístics són una conseqüència del propòsit de l'estadística: modelitzar la realitat. L'estudi d'una gran quantitat de dades individuals d'una població pot ser confús i inoperant, pel que es fa necessari realitzar un resum que permeti tenir una idea global de la població, comparar-la amb d'altres, comprovar el seu ajust a un model ideal, realitzar estimacions sobre dades desconegudes de la mateixa i, en definitiva, prendre decisions. Els paràmetres estadístics contribueixen a aquestes tasques.
Per exemple: es pot fer servir com a mesura i resum de la "joventut" d'una població, la mitjana aritmètica de les edats dels seus membres, és a dir, la suma de les edats, dividida entre el total d'individus que componen la població.
Enfocament descriptiu miniatura|Gràfiques de distribucions normals per a diferents valors dels seus dos paràmetres Un paràmetre estadístic és un nombre que resumeix una quantitat de dades. Aquest enfocament és el tradicional de l'Estadística descriptiva. En aquest sentit, el seu significat s'apropa al de mesura o valor que es fa servir per comparar amb altres, prenent una unitat d'una determinada magnitud com a referència.
Per altra banda, l'Estadística matemàtica i també la Inferència estadística fan servir el concepte de paràmetre com a variable que defineix una família d'objectes matemàtics en determinats models. Així, per exemple, una distribució normal de paràmetres μ i σ és una distribució de probabilitat d'expressió coneguda, en la que aquests paràmetres defineixen aspectes concrets com l'esperança matemàtica, la variància, la curtosi, etc. Un altre exemple és el de la distribució de Poisson determinada per un paràmetre, λ; o la Distribució binomial, determinada per dos paràmetres, n i p. Des del punt de vista de l'Estadística matemàtica el fet que aquestes distribucions descriguin situacions reals i els esmentats paràmetres signifiquin un resum d'un determinat conjunt de dades és indiferent.
Propietats desitjables en un paràmetre Segons Yulecitado per i és desitjable que un paràmetre estadístic tingui les següents propietats: Estar definit de manera objectiva, és a dir, s'ha de poder calcular sense ambigüitats, generalment, mitjançant una fórmula matemàtica. Per exemple: la mitjana aritmètica es defineix com la suma de totes les dades, dividida entre el nombre de dades. No hi ha ambigüitat: si es fa aquest càlcul, s'obté la mitjana. Tanmateix, la definició de moda com el "valor més freqüent", pot donar lloc a confusió quan hi ha diversos valors diferents amb la mateixa freqüència màxima. No malgasta, a priori, cap de les observacions. Amb caràcter general, un paràmetre serà més representatiu d'una determinada població, com més valors de la variable estiguin implicats al seu càlcul. Per exemple: per mesurar la dispersió pot calcular-se el recorregut, que només fa servir dos valors de la variable objecte d'estudi, els extrems; o la desviació típica, en el càlcul de la qual intervenen totes les dades. És interpretable, significa alguna cosa. La mediana, per exemple, deixa per sota del seu valor a la meitat de les dades, està just al mig de totes quan estan ordenades. Aquesta és una interpretació clara del seu significat. És senzill de calcular i es presta amb facilitat a manipulacions algebraiques. Es veurà més endavant que una mesura de la dispersió és la desviació mitjana. Tanmateix, en estar definida mitjançant un valor absolut, funció definida a trossos i no derivable, no és útil en gran part dels càlculs en què podria estar implicada, encara que la seva interpretació sigui molt clara. És poc sensible a les fluctuacions mostrals. Si petites variacions en una mostra de dades estadístiques influeixen en gran manera en un determinat paràmetre, és perquè tal paràmetre no representa amb fiabilitat la població. Així doncs és desitjable que el valor d'un paràmetre amb aquesta propietat es mantingui estable davant de les petites oscil·lacions que amb freqüència poden presentar les diferents mostres estadístiques. Aquesta propietat és més interessant en el cas de l'estimació de paràmetres. D'altra banda, els paràmetres que no varien amb els canvis d'origen i escala o la variació dels quals està controlada algebraicament, són apropiats en determinades circumstàncies com la tipificació.
Principals paràmetres Habitualment els paràmetres s'agrupen en les següents categories: Mesures de posició. Es tracta de valors de la variable estadística que es caracteritzen per la posició que ocupen dins del rang de valors possibles d'aquesta. Entre ells es distingeixen: Les mesures de tendència central: mitjanes, moda i mediana. Les mesures de posició no central: quantils (quartils, decils i percentils). Mesures de dispersió. Resumeixen l'heterogeneïtat de les dades, com de separades que estan entre elles. Bàsicament n'hi ha de dos tipus: Mesures de dispersió absolutes: que venen donades en les mateixes unitats en les quals es mesura la variable: recorreguts, desviacions mitjanes, variància, desviació típica i mediana de les desviacions. Mesures de dispersió relativa: que informen de la dispersió en termes relatius, com un percentatge. S'inclouen entre aquestes el coeficient de variació, el coeficient d'obertura, els recorreguts relatius i l'índex de desviació respecte de la mitjana. Mesures de forma. El seu valor informa sobre l'aspecte que té la gràfica de la distribució. Entre elles hi ha els coeficients d'asimetria i els de curtosi. Altres paràmetres. A més a més, i amb propòsits més específics, hi ha altres paràmetres d'ús en situacions molt concretes, com són les proporcions, els nombres índex, les taxes i el coeficient de Gini.
Mesures de posició Les mesures de posició són les més utilitzades per resumir les dades d'una distribució estadística. Es tracta de valors de la mateixa variableAixò vol dir que si es registren edats, per exemple, la mesura de posició corresponent també és una edat, està mesurada en aquestes mateixes unitats i podria ser igual a una de les dades. que, en certa manera, substitueixen la informació proveïda per les dades.
Mesures de posició central Són valors que solen situar-se cap al centre de la distribució de dades. Els més destacats són la mitjana aritmètica, la mediana i la moda.
Altres mesures de posició central són la mitjana geomètrica i la mitja harmònica que, tot i que tenen determinades propietats algebraiques que podrien fer-les útils en determinades circumstàncies, la seva interpretació no és tan intuïtiva com la dels paràmetres anteriors.
Mitjana aritmètica miniatura|L'estatura mitjana com a resum d'una població homogènia (a baix) o heterogènia (a dalt). La mitjana aritmètica és, probablement, un dels paràmetres estadístics més estesos. Donat un conjunt numèric de dades, 'x1, 'x₂..., 'xn, es defineix la seva mitjana aritmètica com a
Aquesta definició varia, encara que no de manera substancial, quan es tracta de variables contínues.
Les seves propietats són: El seu càlcul és molt senzill i hi intervenen totes les dades. S'interpreta com a "punt d'equilibri" o "centre de masses" del conjunt de dades, ja que té la propietat d'equilibrar les desviacions de les dades respecte del seu propi valor:
Minimitza les desviacions quadràtiques de les dades respecte qualsevol valor prefixat, això és, el valor de és mínim quan . Aquest resultat es coneix com a Teorema de König. Aquesta propietat permet interpretar un dels paràmetres de dispersió més importants: la variància.
Es veu afectada per transformacions afins (canvis d'origen i escala), això és, si: llavors , on és la mitjana aritmètica dels , per a i' ' =1..., 'n' i 'a' i 'b' nombres reals.
Aquest paràmetre, encara que té múltiples propietats que aconsellen el seu ús en situacions molt diverses, té també alguns inconvenients, com ara:
Per a dades agrupades en intervals (variables contínues) el seu valor oscil·la en funció de la quantitat i amplitud dels intervals que es consideri.
La dispersió afecta sobre manera al significat de la mitjana, de manera que com menys homogènies són les dades, menys informació proporciona. Dit d'una altra manera, poblacions molt diferents en la seva composició poden tenir la mateixa mitjana. Per exemple, un equip de bàsquet amb cinc jugadors d'igual estatura, 1,95, tindria una estatura mitjana d'1,95, evidentment, valor que representa fidelment a aquesta homogènia població. Tanmateix, un equip d'estatures més heterogènies, 2,20, 2,15, 1,95, 1,75 i 1,70, per exemple, tindria també una estatura mitjana d'1,95, valor que no representa a gairebé cap dels seus components.
És sensible als valors extrems de la variable. Per exemple, en el càlcul del salari mitjà d'una empresa, el salari d'un alt directiu que guanyi 1.000.000 de € té tant de pes com el de mil empleats "normals" que guanyin 1.000 €, sent la mitjana d'aproximadament 2.000 €.
Moda
La moda és la dada més repetida, el valor de la variable amb major freqüència absoluta. En cert sentit es correspon la seva definició matemàtica amb la locució "estar de moda", això és, ser el que més es porta.
El seu càlcul és extremadament senzill, ja que només necessita un recompte. En variables contínues, expressades en intervals, hi ha l'interval denominat modal o, si no n'hi ha, si és necessari obtenir un valor concret de la variable, es recorre a la interpolació.
Les seves principals propietats són:
Càlcul senzill. Interpretació molt clara. Com que depèn només de les freqüències, pot calcular-se per a variables qualitatives. És per això el paràmetre més utilitzat quan no és possible fer altres càlculs per resumir una població, per exemple, quan s'enumeren en mitjans periodístics les característiques més freqüents de determinat sector social. Això es coneix informalment com a "retrat robot".
Inconvenients.
El seu valor és independent de la major part de les dades, la qual cosa la fa molt sensible a variacions mostrals. D'altra banda, en variables agrupades en intervals, el seu valor depèn excessivament del d'intervals i de la seva amplitud. Fa servir molt poques observacions, de manera que grans variacions en les dades fora de la moda, no afecten en cap manera al seu valor. No sempre se situa cap al centre de la distribució. Pot haver-hi més d'una moda en el cas en què dos o més valors de la variable presentin la mateixa freqüència (distribucions bimodals o multimodals).
Mediana
La mediana és un valor de la variable que deixa per sota seu a la meitat de les dades quan es presenten ordenades de menor a major. Per exemple, la mediana del nombre de fills d'un conjunt de tretze famílies, si els seus respectius fills són: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 i 1, és 2, ja que, una vegada ordenades les dades: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posició central és 2:
En cas d'un nombre parell de dades, la mediana no correspondria a cap valor de la variable, per la qual cosa, per convenció, es pren com a mediana el valor intermedi entre els dos valors centrals. Per exemple, en el cas de dotze dades com les anteriors:
Es pren com a mediana