miniatura|L'índex borsari és un exemple de procés estocàstic de tipus no estacionari (per això no es pot predir) En teoria de probabilitat i generalment en el camp estadístic, un procés aleatori o procés estocàstic és un concepte matemàtic normalment definit com un conjunt de variables aleatòries. El seu estudi és el camp matemàtic de l'estocàstica.
Els processos estocàstics s'acostumen a utilitzar com a models matemàtics de sistemes i fenòmens que acostumen a variar de forma aleatòria. Alguns exemples inclourien el creixement d'una població bacteriana, el corrent elèctric que fluctua a causa del soroll tèrmic, o bé el moviment d'una molècula de gas.
Els processos estocàstics tenen moltes aplicacions en diversos camps, com ara la biologia, l'ecologia, la informàtica, la neurociència, la química i moltes altres. En especial es podria mencionar el seu impacte en el sector financer després de veure grans canvis aleatoris en els mercats d'aquest sector.
Etimologia El terme prové de l'adjectiu de l'antic grec στοχαστικος (stochastikos), que va derivar en el significat de «conjectural», i que en origen volia dir «hàbil apuntant», especialment referit als arquers. Al seu torn, l'adjectiu prové de stochazesthai , apuntar, suposar, de stochos diana.
Introducció Un procés aleatori o estocàstic pot ser definit com una col·lecció de variables que estan dins d'un conjunt matemàtic. Això voldria dir que cada variable aleatòria del procés estocàstic estaria únicament associada amb un element del conjunt matemàtic. Històricament el conjunt d'índex on es col·loquen les variables aleatòries era definit com un subconjunt de l'eix real, com ara l'eix dels nombres naturals, donant al conjunt d'índex la interpretació del temps. Cada variable del conjunt pren valors del mateix espai matemàtic, conegut com estat espai. Alguns exemples d'aquest estat poden ser els nombres enters, l'eix real o bé l'espai Euclidià n-dimensional.
Un procés estocàstic pot tenir varis resultats degut a la seva aleatorietat. En cas de tenir un resultat simple el procés s'anomena realització o funció mostra.
Classificacions Els processos estocàstics poden classificar-se de diverses maneres. Segons el seu estat espai, el conjunt d'índex o segons la dependència entre les variables aleatòries. Una forma molt comú de classificar és per la cardinalitat del conjunt d'índex i de l'estat espai.
Quan ho interpretem com a temps, si l'índex d'un conjunt estocàstic té un nombre finit o comptable d'elements com ara un conjunt de nombres, el conjunt d'enters o de nombres naturals, aleshores el procés estocàstic es diu que és discret. Si l'índex en canvi és en un interval de l'eix real aleshores és continu. Els processos estocàstics discrets són considerats més fàcils d'estudiar ja que els processos continus requereixen tècniques matemàtiques més avançades i coneixement, particularment degut a que el seu índex és incomptable. Si l'índex són els enters o qualsevol subconjunt d'aquests aleshores el procés estocàstic pot anomenar-se seqüència aleatòria.
Terminologia La definició de procés estocàstic varia, tot i així un procés estocàstic ha estat tradicionalment definit com una col·lecció de variables aleatòries indexades per un conjunt. El terme procés aleatori és un sinònim de procés estocàstic i són utilitzats pel mateix.
El terme de funció aleatòria s'acostuma a utilitzar com a procés aleatori, tot i que a vegades només s'utilitza quan el procés estocàstic pren valors reals. També s'utilitza quan el conjunt d'índex es un espai matemàtic diferent de l'eix real, mentre que el terme procés estocàstic s'utilitza quan el conjunt d'índex s'interpreta com a temporal.
Notació Un procés estocàstic pot ser definit com , , , o simplement o . Tot i que l'ús de és considerat com un abús de la notació. Per exemple, or s'utilitzen per referir-se a variables aleatoris amb índex , i no a processos estocàstics. Si el conjunt d'índex és , aleshores es pot escriure per denotar el procés estocàstic.
Exemples Procés Bernoulli Un dels processos estocàstics més simples és el procés de Bernoulli, que és una seqüència de variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes (iid), on cada variable aleatòria pren el valor un o zero, per exemple, un amb probabilitat i zero amb probabilitat . Aquest procés es pot relacionar amb tirar repetidament una moneda, on hi ha la probabilitat d'obtenir un cap i el seu valor és un, mentre que el valor d'una creu és zero. En altres paraules, un procés de Bernoulli és una seqüència de variables aleatòries iid de Bernoulli, on cada llançament de moneda és un exemple d'un assaig de Bernoulli.
Caminada aleatòria Els camins aleatoris són processos estocàstics que solen definir-se com a sumes de variables aleatòries iid o vectors aleatoris en l'espai euclidià, de manera que són processos que canvien en un temps discret. Però alguns també utilitzen el terme per referir-se a processos que canvien en un temps continu, particularment el procés de Wiener utilitzat en finances, que ha provocat certa confusió, resultant en la seva crítica. Hi ha altres tipus diversos de caminades aleatòries, definits de manera que els seus espais d'estats poden ser altres objectes matemàtics, com ara reticles i grups, i en general estan molt estudiats i tenen moltes aplicacions en diferents disciplines.
Un exemple clàssic de caminada aleatòria es coneix com a caminada aleatòria simple, que és un procés estocàstic en temps discret amb els nombres enters com a espai d'estats, i es basa en un procés de Bernoulli, on cada variable de Bernoulli pren el valor positiu o bé negatiu. En altres paraules, la caminada aleatòria simple té lloc sobre els nombres enters, i el seu valor augmenta en un amb probabilitat, per exemple, , o disminueix en un amb probabilitat , de manera que el conjunt d'índexs d'aquesta caminada aleatòria són els nombres naturals, mentre que el seu espai d'estats són els nombres enters. Si el , aquesta caminada aleatòria s'anomena caminada aleatòria simètrica.
Procés Wiener El procés de Wiener és un procés estocàstic amb increments estacionaris i independents que es distribueixen normalment en funció de la mida dels increments. El procés de Wiener rep el nom de Norbert Wiener, que va demostrar la seva existència matemàtica, però el procés també s'anomena procés de moviment brownià o simplement moviment brownià a causa de la seva connexió històrica com a model del moviment brownià en líquids.
Jugant un paper central en la teoria de la probabilitat, el procés de Wiener sovint es considera el procés estocàstic més important i estudiat, amb connexions amb altres processos estocàstics. El seu conjunt d'índexs i l'espai d'estats són els nombres no negatius i els nombres reals, respectivament, de manera que té tant un conjunt d'índexs continus com un espai d'estats. Però el procés es pot definir de manera més general, de manera que el seu espai d'estats pot ser -espai euclidià dimensional. Si la mitjana de qualsevol increment és zero, es diu que el procés de moviment de Wiener o Brownià resultant té un desplaçament estocàstic zero. Si la mitjana de l'increment per a dos punts de temps qualsevol és igual a la diferència de temps multiplicada per alguna constant , que és un nombre real, llavors es diu que el procés estocàstic resultant té un desplaçament estocàstic .
Quasi sempre, un camí de mostra d'un procés de Wiener és continu a tot arreu però enlloc diferenciable. Es pot considerar com una versió contínua de la caminada aleatòria simple. El procés sorgeix com el límit matemàtic d'altres processos estocàstics com ara certs camins aleatoris reescalats, que és l'objecte del teorema de Donsker o principi d'invariància, també conegut com el teorema del límit central funcional.
El procés de Wiener és membre d'algunes famílies importants de processos estocàstics, inclosos els processos de Markov, els processos de Lévy i els processos gaussians. El procés també té moltes aplicacions i és el principal procés estocàstic utilitzat en el càlcul estocàstic. Té un paper central en les finances quantitatives, on es fa servir, per exemple, en el model Black–Scholes–Merton. El procés també s'utilitza en diferents camps, incloent-hi la majoria de les ciències naturals així com algunes branques de les ciències socials, com a model matemàtic per a diversos fenòmens aleatoris.
Definició matemàtica Un procés estocàstic es pot definir equivalentment de dues maneres diferents: Com un conjunt de realitzacions temporals i un índex aleatori que selecciona una d'elles. Com un conjunt de variables aleatòries indexades per un índex , atès que , amb .
pot ser continu si és un interval (el nombre dels seus valors és il·limitat) o discret si és numerable (només pot assumir determinats valors).
Les variables aleatòries prenen valors en un conjunt que s'anomena espai probabilístic.
Sigui un espai probabilístic.
En una mostra de mida s'observa un succés compost format per successos elementals :
, de manera que .
El succés compost és un subconjunt contingut en l'espai mostral i és una àlgebra de Boole . A cada succés li correspon un valor d'una variable aleatòria , de manera que és funció de :
El domini d'aquesta funció és a dir el camp de variabilitat del succés elemental, és l'espai mostral, i la seva recorregut, o sigui el de la variable aleatòria, és el camp dels nombres reals. Es diu procés aleatori al valor en d'un element , on per a tot és una variable aleatòria del valor en .
Si s'observa el succés en un moment de temps:
.
defineix així un procés estocàstic.Dagum, Camilo i Estela M. Bee d'Dagum (1971)Introducció a l'Econometria: 79-83. Mèxic: Siglo XXI editores, setè edició, 1980.
Si és una filtració,Es diu "filtració" a una successió (B (t), t ? T) de sub-s-àlgebres tal que B (t) està inclosa en B (r) si r <t. s'anomena procés aleatori adaptat, al valor en , d'un element , on és una variable aleatòria -mesurable del valor en . La funció es diu la trajectòria associada al succés .
Casos especials Procés estacionari: Un procés és estacionari en sentit estricte si la funció de distribució conjunta de qualsevol subconjunt de variables és constant respecte a un desplaçament en el temps. Es diu que un procés és estacionari en sentit ampli (o dèbilment estacionari) quan es verifica que: La mitjana teòrica és independent del temps, i Les autocovariances d'ordres només venen afectades pel lapse de temps transcorregut entre els dos períodes i no depenen del temps. Procés homogeni: És el que té variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes Procés de Markov: Un procés discret en què l'evolució només depèn de l'estat actual i no dels anteriors. Procés de Gauss: Un procés continu en el que tota combinació lineal de variables és una variable de distribució normal. Procés de Poisson: És un procés continu en el temps Procés de Gauss-Markov: És un procés, al mateix temps, de Gauss i de Markov Procés de Bernoulli És un procés discret amb una distribució binomial.
Definicions Procés estocàstic Un procés estocàstic es defineix com una col·lecció de variables aleatòries definides en un espai de probabilitat comú , on és un espai mostral , és un - àlgebra, i és una mesura de probabilitat. Les variables aleatòries, indexades per algun conjunt , prenen valors en el mateix espai matemàtic , que ha de ser mesurable respecte a alguna -àlgebra.
.En altres paraules, per a un espai de probabilitat donat i un espai mesurable , un procés estocàstic és una col·lecció de -variables aleatòries que es poden escriure com:
Històricament, en molts problemes des de les ciències naturals un punt feia referència al temps, ja que és una variable aleatòria que representa un valor observat en el temps . Un procés estocàstic també es pot escriure com per reflectir que en realitat és una funció de dues variables: i .