En matemàtiques, la funció gamma (també coneguda com a funció gamma completa, per distingir-la de la funció gamma incompleta) és una extensió de la funció factorial, amb el seu argument menys 1, als nombres reals i complexos. Es denota com , representada per la lletra majúscula grega Γ.
És a dir, si n és un nombre enter positiu:
.
La funció gamma està definida per a tots els nombres complexos, excepte els nombres enters no positius. Per als nombres complexos amb una part real positiva, es defineix per una integral impròpia convergent:
.
Aquesta funció integral s'estén per continuació analítica a tots els nombres complexos, excepte els nombres enters no positius (on la funció té pols simples), obtenint la funció meromorfa que anomenem funció gamma.
La funció gamma no té zero, de manera que la funció gamma inversa és una funció entera. De fet, la funció gamma es correspon amb la transformada de Mellin de la funció exponencial negativa:
.
La funció gamma és un component en diverses funcions de probabilitat de distribució, i com a tal, és aplicable en els camps de la probabilitat i de l'estadística, així com la combinatòria.
Motivació miniatura|Gràfica senzilla per a interpolar la funció factorial per a valors no sencers, però és aquesta una fórmula que descriu la corba resultant?
La funció gamma pot ser vista com una solució per al següent problema d'interpolació:
«Troba una corba suau que uneixi els punts (x, y) donats per y = (x - 1)! en els valors enters positius per a x.»
Un gràfic dels primers factorials deixa clar que es pot fer una corba d'aquest tipus, però seria preferible tenir una fórmula que descrigui amb precisió la corba, en què el nombre d'operacions no depengui del valor de x. La fórmula simple per al factorial no es pot utilitzar directament per als valors fraccionaris de x, ja que només és vàlida quan x és un nombre natural (és a dir, un nombre enter positiu). En termes relatius, no hi ha aquest tipus de solucions simples per als factorials; cap combinació finita de sumes, productes, potències, funcions exponencials, o logaritmes serà suficient per expressar x!. L'aproximació de Stirling és asimptòticament igual a la funció factorial per a valors grans de x. És possible trobar una fórmula general per als factorials utilitzant eines com ara integrals i límits per al càlcul. Una bona solució a això és la funció gamma.
Hi ha una infinitat d'extensions contínues del factorial de valors no sencers: es poden extreure un nombre infinit de corbes a través de qualsevol conjunt de punts aïllats. La funció gamma és la solució més útil en la pràctica, sent analítica (excepte en els nombres enters no positius), i pot ser caracteritzada de diverses formes. No obstant això, no és l'única funció analítica que s'estén al factorial, com l'addició a la mateixa de qualsevol funció analítica que és zero en els nombres enters positius, com ara , donarà una altra funció amb aquesta propietat.
Una propietat més restrictiva que satisfà la interpolació superior és satisfer la relació de recurrència definida a una versió traduïda de la funció factorial,
per a igual a qualsevol nombre real positiu.
El teorema de Bohr-Mollerup demostra que aquestes propietats, juntament amb el supòsit que sigui logarítmicament convexa (o «súper convexa»),Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284. determina de forma única a per als valors positius i reals. A partir d'aquí, la funció gamma es pot estendre a tots els valors reals i complexos (amb excepció dels nombres enters negatius i el zero) utilitzant l'única continuació analítica de .
Definició Definició principal La notació es deu al matemàtic Legendre. Si la part real del nombre complex és positiu (), llavors la integral
convergeix absolutament, i es coneix com la integral d'Euler segona espècie (la integral d'Euler de la primera espècie defineix la funció beta). L'ús de la integració per parts, es veu que satisfà l'equació funcional:
Combinant això amb , s'obté:
o . per a .
La identitat es pot utilitzar (o, i s'obté el mateix resultat, es pot utilitzar la continuació analítica) per a estendre de forma única la formulació integral per a a una funció meromorfa definida per a tots els nombres complexos , excepte per a enters , on la funció té pols simples amb residu .
Aquesta és la versió ampliada que es coneix comunament com la funció gamma.
Altres definicions Les següents definicions de productes infinits per a la funció gamma d'Euler i Weierstrass, respectivament, són vàlides per a tots els nombres complexos , excepte els nombres enters no positius:
on és la constant d'Euler-Mascheroni. És fàcil demostrar que la definició d'Euler satisfà l'equació funcional (1) anterior.
Una curiosa parametrització de la funció gamma es dona en termes de polinomis de Laguerre generalitzats,
que convergeix per .
La funció gamma en el pla complex miniatura|Representació de la funció gamma en el pla complex. Cada punt es del color d'acord l'argument de . També es visualitza el gràfic de contorn del mòdul ||
miniatura|Valor absolut de la funció gamma en el pla complex El comportament de per a una variable positiva creixent és simple: creix ràpidament, més ràpid que una funció exponencial. Asimptòticament és com , la magnitud de la funció gamma està donada per la fórmula de Stirling
on el símbol vol dir que el quocient de banda i banda convergeix a 1.
El comportament de la no positiva és més intricada. L'integral d'Euler no convergeix per a t, però la funció que es defineix en el semiplà positiu complex té una continuació analítica única cap al semiplà negatiu. Una manera de trobar aquesta continuació analítica és l'ús de la integral d'Euler per a arguments positius i estendre el domini als nombres negatius amb l'aplicació reiterada de la fórmula de recurrència,
elegint a de tal manera que sigui positiu. El producte en el denominador és zero quan és igual a qualsevol dels nombres enters 0, -1, -2, .... Així, la funció gamma ha de ser indefinida en aquests punts per a la divisió per zero; és una funció meromorfa amb pols simples en els nombres enters no positius.
Els residus de la funció en aquests punts són:
La funció gamma és sempre diferent de zero al llarg de l'eix real, tot i que es tracta arbitràriament prop de zero quan . Hi ha, de fet, no hi ha cap nombre complex per als que i, per tant, la funció gamma inversa és una funció sencera, amb zeros en
La funció gamma té un mínim local en , on aconsegueix el valor de .
La funció gamma ha d'alternar el signe entre els pols perquè el producte en la recurrència cap endavant conté un nombre imparell de factors negatius si el nombre de pols entre i és imparell, i un nombre parell si el nombre de pols és parell.
Propietats General Altres equacions funcionals importants per a la funció gamma són la fórmula de reflexió d'Euler
que implica
i la fórmula de duplicació
La fórmula de duplicació és un cas especial del teorema de multiplicació
Una propietat simple però útil, que es pot veure a partir de la definició de límit, és:
Potser el valor més conegut de la funció gamma d'un argument no sencer és
que es pot trobar mitjançant l'establiment de en les fórmules de reflexió o duplicació, mitjançant l'ús de la relació amb la funció beta donada a continuació amb , o simplement fent la substitució en la definició d'integral de la funció gama, resultant en una integral de Gauss. En general, per a valors enters no negatius de tenim:
on denota el doble factorial, quan , (Vegeu Valors particulars de la funció gamma per als valors calculats).
Podria ser temptador generalitzar el resultat mitjançant la recerca d'una fórmula per a altres valors individuals de , on és racional. No obstant això, aquests nombres no són coneguts per ser expressables per si mateixos en termes de funcions elementals. S'ha demostrat que és un nombre transcendent i algebraicament independent de per a qualsevol nombre enter n i cadascuna de les fraccions de .Waldschmidt, M. (2006). "Transcendence of Periods: The State of the Art ". Pure and Applied Mathematics Quarterly, Volume 2, Number 2, 435—463 (PDF copy published by the author) En general, quan es calculen els valors de la funció gamma, cal conformar-se amb aproximacions numèriques
Un altre límit útil per a aproximacions asimptòtiques és:
Les derivades de la funció gamma es descriuen en termes de la funció poligamma. Per exemple:
Per a un enter positiu la derivada de la funció gamma es pot calcular com segueix (aquí és la constant d'Euler-Mascheroni):
Per a la -derivada de la funció gamma és: miniatura|Derivada de la funció
La funció gamma té pols simples en El residu es
Els pols i els residus es poden obtenir de la fórmula
A més, la funció gamma té el següent desenvolupament de Laurent en
vàlid per a |z − 1| < 1.
Usant la identitat
amb particions ,
tenim, en particular,
.
Desenvolupament en sèries de Fourier El logaritme de la funció gamma té el següent desenvolupament en sèries de Fourier
que ha estat durant molt de temps atribuït a Ernst Kummer, obtinguda en 1847.Harry Bateman i Arthur Erdélyi Higher Transcendental Functions [in 3 volumes]. Mc Graw-Hill Book Company, 1955.H.M. Srivastava and J. Choi Series Associated with the Zeta and Related Functions. Kluwer Academic Publishers. The Netherlands, 2001 No obstant això, va ser fa relativament poc que Iaroslav Blagouchine va descobrir que aquesta sèrie va ser obtinguda per primera vegada per Carl Johan Malmsten en 1842.Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, p. 21-110, 2014. PDF
La fórmula de Raabe En 1840, Raabe va provar que
En particular, si llavors
S'utilitza aquesta fórmula, quan es vol obtenir la versió convergent de la fórmula de Stirling. Usant la regla trapezoïdal completa es pot demostrar que
La funció Pi Una notació alternativa que va ser introduïda originalment per Gauss i que va ser utilitzada de vegades és la funció Pi, que en termes de la funció gamma és
i que per a cada enter no negatiu .
Utilitzant la fórmula de reflexió de la funció pi, pren la forma
on és la funció sinc normalitzada, mentre que el teorema de multiplicació pren la forma
De vegades també trobem
que és una funció entera, definida per a tot nombre complex, igual que la funció gamma inversa. Que sigui entera implica que no té pols, pel que no té zeros.
El volum d'un n-el·lipsoide amb radis , pot expressar-se com
Relació amb altres funcions En la primera integral superior, que defineix la funció gamma, els límits d'integració són fixos. La funció gamma incompleta superior i inferior s'obtenen modificant els límits d'integració superiors o inferiors respectivament.
La funció gamma està relacionada amb la funció beta per la fórmula
La derivada logarítmica de la funció gamma és la funció digamma . Les derivades d'ordre superior són les funcions poligamma .
L'anàleg de la funció gamma sobre un cos finit o un anell finit és el sumatori de Gauss, un tipus de suma exponencial.
La funció gamma inversa és una funció sencera i ja s'ha estudiat en un apartar específic.
La funció gamma també es manifesta en una important relació amb la funció zeta de Riemann, .
que és vàlida només per a . També apareix en la seva ecuació funcional
El logaritme de la funció gamma satisfà la següent fórmula de Lerch:
on és la funció zeta de Hurwitz, és la funció zeta de Riemann i la prima (') denota la diferenciació en la primera variable.
La funció gamma està íntimament relacionada amb la funció exponencial estirada. Per exemple, els moments d'aquesta funció són
Valors particulars
Alguns valors particulars de la funció gamma són:
La funció log-gamma