La lògica modal és un sistema formal que intenta capturar el comportament deductiu d'algun grup d'operadors modals. Els operadors modals són expressions que qualifiquen la veritat dels judicis. Per exemple, en l'oració "és necessari que 2+2 = 4", l'expressió "és necessari que" és un operador modal que qualifica de necessària la veritat del judici "2+2 = 4 ".
En un sentit més restringit, però, es diu lògica modal al sistema formal que s'ocupa de les expressions "és necessari que" i "és possible que". Aquest article tracta exclusivament sobre aquest sistema formal. Altres sistemes de lògica modal coneguts són la lògica deòntica, la lògica temporal, la lògica epistèmica i la lògica doxàstica.
Sistema formal Vocabulari La lògica modal només afegeix dos símbols al vocabulari de la lògica proposicional: el símbol , que representa l'expressió del llenguatge natural "cal que", i el símbol , que representa l'expressió "és possible que". Tots dos símbols es prefixen a proposicions, de manera que es llegeix "és necessari que p ", i es llegeix "és possible que p ". A més, en la lògica modal clàssica, tots dos símbols són interdefinibles per mitjà de l'altre i de la negació, així:
Això implica que en principi, només cal prendre un dels dos símbols com primitiu, ja que l'altre pot ser definit a partir d'aquest i del vocabulari de la lògica proposicional. En general, el símbol que es pren com primitiu és el de necessitat. Aquestes interdefiniciones són paral·leles a les dels quantificadors en la lògica de primer ordre:
Les raons d'aquest paral·lelisme resultaran més clares en la secció de semàntica de mons possibles.
Gramàtica La gramàtica ens indica quines seqüències de signes del vocabulari estan ben construïdes. Aquestes seqüències s'anomenen fórmules ben formades. La gramàtica de la lògica modal és igual a la de la lògica proposicional, excepte que afegeix una regla per als operadors modals, la qual ja va ser indicada informalment en la secció anterior:
Si és una fórmula ben formada, llavors també ho és.
Alguns exemples de fórmules ben formades del llenguatge seran, per tant:
Regles d'inferència La regla d'inferència més pròpia de la lògica modal es diu N (o regla de Necesitación ), i diu que si una fórmula és un teorema, llavors "cal que " també és un teorema. En altres termes:
A aquesta regla cal sumar-li, per descomptat, el modus ponens heretat de la lògica proposicional.
Axiomes Quins han de ser els axiomes de la lògica modal és una qüestió molt debatuda. Diferents conjunts d'axiomes permeten demostrar diferents teoremes i, per tant, els axiomes que es trien moltes vegades depenen dels teoremes que es volen demostrar, i de la posició filosòfica que es defensa.
La següent és una llista d'alguns dels axiomes més coneguts:
NomAxioma Lectura informalKSi cal que implica , llavors si és necessari, també ho és.T (o M)Si cal que , llavors és el cas.4Si cal que , aleshores cal que sigui necessari.5Si és possible que , aleshores cal que sigui possible.BSi és el cas, llavors cal que sigui possible.
Diferents combinacions d'axiomes donen lloc a diferents sistemes de lògica modal. El sistema K (anomenat així en honor de Saul Kripke) és el que menys axiomes utilitza: a part dels axiomes de la lògica proposicional, el sistema K se serveix només de l'axioma K (no confondre l'axioma amb el sistema). Per aquesta mateixa raó, però, el sistema K també és el més feble dels sistemes, és a dir, el que menys teoremes pot demostrar. Sistemes més forts es construeixen afegint axiomes a K. A continuació hi ha una taula amb els noms dels sistemes més coneguts i els seus axiomes:
Sistema AxiomesKKTK, TS4K, T, 4S5K, T, 5BK, T, B
Semàntica Una interpretació per a un llenguatge modal és un conjunt ordenat de tres elements: < W , R , V >
W és un conjunt els elements generalment són anomenats mons possibles . Què és exactament un món possible és matèria de debat. Una de les postures diu que un món possible és un conjunt màximament consistent de proposicions. És a dir, un conjunt de proposicions al qual si es agregués una proposició qualsevol més, es tornaria inconsistent. Aquesta definició intenta capturar la idea d'una descripció completa del món (d un món).
N és una relació entre mons possibles anomenada relació d'accessibilitat . La funció de la relació d'accessibilitat és ajudar a expressar una necessitat o possibilitat relativa. En principi, no tot el que és possible en un món és possible en un altre món. Suposem tres situacions o mons possibles: w 0, w 1 i w 2. Suposem a més que w 0 és la situació actual, en què el senyor Fernández es va tirar sense paracaigudes d'un avió volant a milers de metres, per tal de suïcidar-se. De convenir que en aquesta situació, el senyor Fernández va a morir necessàriament (per necessitat física). D'altra banda, w 1 és una situació anterior a w 0 a la que el senyor Fernández està decidint si tirar-se o no de l'avió, i w 2 és una situació posterior a w 1 on el senyor Fernández va decidir no tirar-se de l'avió. Hi ha un sentit del terme "possible" en què l'enunciat "és possible que el senyor Fernández no mori" és veritable en w 1 però no en w 0. De manera que w 2 és un món possible relatiu a w 1, però no relatiu a w 0. Expressem aquesta possibilitat relativa dient que w 1 té accés a w 2, però que w 0 no té accés a w 2.
N és una funció que assigna valors de veritat a proposicions dins de cada món possible. És a dir, la funció V assigna a cada proposició p un valor de veritat, però aquest valor de veritat pot variar depenent del món possible on s'estigui avaluant la seva veritat. Estrictament parlant, per tant, la funció V és una funció que pren parells ordenats com a arguments, i retorna valors de veritat. Aquests parells contenen, per una banda, la proposició a ser avaluada, i per l'altre, el món possible on serà avaluada.
Als dos primers elements de la interpretació se'ls diu l marc de la interpretació, i quan se'ls suma el tercer es té un model per al sistema. Els mons possibles no juguen cap paper substancial en la definició dels operadors lògics no-modals, llevat que les condicions de veritat es defineixen relativament a mons possibles. Per exemple:
si i només si
si i només si i
Però els mons possibles tenen un paper clau en la definició de les condicions de veritat dels operadors modals:
si i només si per a tot món possible w * tal que wRw * ( w té accés a w * ) es compleix que
si i només si en almenys un món possible w * tal que wRw * es compleix que
Una observació: Si des d'un món possible w no es pot accedir a cap altre món possible, llavors totes les fórmules de la manera seran vertaderes en w , mentre que totes les de la forma seran falses. Les condicions de veritat de no requereixen l'existència d'un món possible que sigui accessible, ja que "tot món possible w * tal que wRw * i "és equivalent a" no hi ha cap món possible tal que wRw * i ". És a dir, tot el que cal perquè sigui veritable en w és que no hi hagi cap món accessible Des de w on sigui fals. D'altra banda les condicions de veritat de requereixen l'existència d'un món possible. Perquè sigui veritable en w , ha d'haver almenys un món accessible Des de w en què sigui veritable. Si des de w no s'accedeix a cap món possible, llavors és fals en w .
Conseqüència lògica i deducció Dins dels llenguatges lògics podem distingir dos tipus de relacions de conseqüència entre premisses i conclusió: la conseqüència lògica i la deduïbilitat. La relació de conseqüència lògica és una relació semàntica en el sentit que és una relació entre les premisses sota una interpretació i la conclusió amb la mateixa interpretació. La relació de deduïbilitat és una relació sintàctica perquè queda caracteritzada per un conjunt de regles (un sistema deductiu) que atenen només a la forma de les premisses i conclusió. S'entén habitualment que la relació de conseqüència lògica és més bàsica (tot i que això està subjecte a cert debat) i que l'objectiu d'un sistema deductiu és caracteritzar en termes purament sintàctics la relació de conseqüència lògica. Un sistema deductiu caracteritza d'una manera satisfactòria la conseqüència lògica quan ens permet deduir només conseqüències lògiques (es diu que el sistema és consistent o correcte, en anglès sound ) i totes les conseqüències lògiques (es diu que és complet, en anglès complete ).
En lògica clàssica hi ha una sola relació de conseqüència lògica i diferents sistemes deductius per caracteritzar (sistemes axiomàtics, tableaux , deducció natural, sistemes de Gentz, entre d'altres). Això no és així en lògica modal. En lògica modal hi ha diferents sistemes modals que caracteritzen diferents relacions de conseqüència lògica. En aquest sentit més que de lògica modal hauria de parlar-se de lògiques modals . En primer lloc introduirem una definició general de conseqüència lògica. En segon lloc es tractarà el sistema modal bàsic anomenat K. Després indicarem com modificar els sistemes modals i quins són els seus corresponents relacions de conseqüència lògica.
Conseqüència lògica La conseqüència lògica està lligada a la noció de veritat, que un argument és vàlid vol dir que preserva necessàriament la veritat. En lògica modal la veritat és relativa a mons possibles (una fórmula és vertadera en una interpretació en un món possible) de manera que la conseqüència lògica també serà relativa a mons possibles: un argument serà vàlid just quan, si les seves premisses són totes vertaderes en un món possible, la seva conclusió és vertadera en aquest món possible. D'altra banda, sol entendre la necessària preservació de veritat com a preservació de veritat en tota interpretació. Per tant, un argument és vàlid en el nostre llenguatge modal quan preserva la veritat en tots els mons possibles en tota interpretació:
si i només si per a tota interpretació < W , R , V > i tot món possible w a W , si per a tot a , llavors
Deducció Un sistema deductiu és un conjunt de regles que ens permet establir afirmacions de conseqüència entre un conjunt d'oracions i una pregària atenent només a la seva forma. Quan és una conseqüència deductiva de en un sistema deductiu S se sol escriure " a S ". El tipus de sistemes deductius tradicionals en lògica modal són els sistemes axiomàtics. Un sistema axiomàtic és un conjunt d'enunciats del llenguatge (o formes d'enunciats si contenen metavariables) i un conjunt de regles d'inferència. Una conseqüència deductiva d'un sistema axiomàtic és, o bé un axioma, o bé un enunciat que es pot obtenir a partir dels axiomes i les regles d'inferència. El sistema axiomàtic bàsic per a la lògica modal és el sistema K, descrit més amunt. La relació de deduïbilitat en K (és a dir, tot allò que és deduïble en K), queda per tant definida per les seves axiomes i les seves regles d'inferència.
Com comentem a l'inici d'aquesta secció, la deduïbilitat en els diferents sistemes modals caracteritza diverses relacions de conseqüència lògica. El sistema modal K és considerat bàsic perquè la deducció en K caracteritza (és consistent i complet pel que fa a) la conseqüència lògica en totes les interpretacions (normals) . Per tant:
en K si i només si per a tota interpretació < W , R , V >.
Restriccions en la relació d'accessibilitat Recordem que alguns dels sistemes modals s'obtenen fàcilment afegint axiomes a la llista d'axiomes del sistema K. Per exemple, el sistema T s'obté afegint a K l'axioma:
( T )