En matemàtiques, existeixen moltes identitats logarítmiques.
Identitats algebraiques Amb operacions simples Els logaritmes s'utilitzen normalment per simplificar les operacions. Per exemple, els logaritmes ens permeten resoldre un càlcul que inclou multiplicacions simplement amb sumes.
donat que donat que donat que donat que donat que
On , i nombres reals positius i .
Sumes/Restes Les següents sumes/restes són especialment útils en teoria de probabilitats quan es tracta d'una suma/resta de probabilitats logarítmiques:
En particular:
Identitats trivials donat que donat que
Fixem-nos que no existeix perquè no hi ha cap nombre tal que . De fet, hi ha una asímptota vertical al gràfic de la funció quan .
Cancel·lant exponencials Els logaritmes i exponencials (antilogaritmes) amb la mateixa base es cancel·len. La raó és que els logaritmes i els exponencials són operacions inverses (tal com passa amb la multiplicació i la divisió). donat que donat que
Canvi de base
Aquesta relació és necessària per trobar els valor d'un logaritme amb una calculadora. Per exemple, la majoria de calculadores tenen els botons ln i log10, però no log₂. Per trobar log₂(3), hem de calcular log10(3) / log10(2) (o ln(3)/ln(2), que té el mateix resultat).
Demostració Tenim .
I per tant .
Si agafem als dos membres:
Simplificant i resolent:
Donat que , llavors
Conseqüències Aquesta fórmula té unes quantes conseqüències:
On és qualsevol permutació de les bases 1, ..., n. Per exemple
Identitats de càlcul Límit
L'últim límit es resumeix dient que els logaritmes creixen més lentament que qualsevol potència o arrel de x.
Derivada de funcions logarítmiques
Definició a partir d'integral
Integrals de funcions logarítmiques
Per recordar integrals més grans, és necessari definir:
On és l'n-èsim nombre harmònic. Per exemple:
Llavors,
Categoria:Logaritmes