En geometria euclidiana, la distància d'un punt a una recta és la menor distància entre aquest punt i un punt de la recta. Sigui un punt, una recta i un punt d'aquesta recta:

Cal distingir entre la distància entre un punt i una recta a i .

Dues dimensions Suposem que volem trobar la distància entre un punt i una recta de la forma . Llavors, la fórmula que permet obtenir-la és:

Demostració miniatura|Esquema on es veu una recta , un punt qualsevol de la recta , el punt utilitzat i la seva projecció sobre la recta. Per la demostració utilitzarem el punt (pertany a ) i el vector normal .

Per la definició de producte escalar, tenim que:

I la distància compleix, com deduïm a partir de la figura, la següent relació:La distància sempre és positiva, i per això afegim un valor absolut al producte escalar i al sinus de l'angle, ja que podrien ser tan positius com negatius.

Aquesta expressió pot ser molt simplificada de la següent manera: el vector , el vector normal és i el mòdul del vector normal . Si substituïm tot això a l'equació anterior obtenim:

Donat que el punt pertany a la recta, tenim que:

I per tant:

Exemple Si tenim la recta i volem saber a quina distància es troba el punt , haurem d'utilitzar la fórmula de la següent manera:

Tres dimensions miniatura|Esquema on es veu una recta , un punt qualsevol de la recta , el punt utilitzat , la seva projecció sobre la recta, i l'angle que formen el vector i . Suposem que volem trobar la distància entre un punt i una recta . La recta ve definida per un punt que està contingut i un vector que en marca la direcció. Anomenarem a aquest punt i a aquest vector. Llavors, la distància entre la recta i el punt ve donada per:

Demostració Si és l'angle entre els vectors i , la distància entre el punt i la recta és:

Per altra banda, per la interpretació geomètrica del producte vectorial, tenim que:

Així doncs, barrejant les dues equacions arribem a la fórmula inicial.

Exemple Suposem que tenim la recta ; llavors el vector és i el punt que hi pertany és . Si volem trobar la distància d'aquesta recta al punt , hem de seguir el següent procediment. Primer de tot, cal trobar el producte vectorial entre el vector i , i llavors el seu mòdul:

A més a més, el mòdul del vector director de la recta és . En resum, la distància entre el punt i la recta és:

Notes al peu

Referències

Vegeu també Distància euclidiana Distància d'un punt a un pla

Enllaços externs http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html

Categoria:Geometria