En matemàtiques, la constant de Catalan (denotada K (en aquest article), G (per exemple, Borwein et al. 2004, p. 49), o C (Wolfram Language)), anomenada així en honor del matemàtic franco-belga Eugène Charles Catalan, és el nombre definit per:
on és la funció beta de Dirichlet.
El seu valor numèric és aproximadament:
(seqüència A006752, OEIS)
No se sap si és irracional, i molt menys transcendent.
Concretament, la constant de Catalan es defineix com el valor numèric de la següent integral:
on és la integral el·líptica de primera espècie.
La sèrie similar, però aparentment més complicada
es pot avaluar exactament i val .
Identitats integrals Algunes identitats que impliquen integrals definides inclouen:
on les últimes tres fórmules estan relacionades amb les integrals de Malmsten.
Si és la integral el·líptica completa de primera espècie, com a funció del mòdul el·líptic , llavors
Amb la funció gamma
La integral
és una funció especial coneguda, anomenada integral tangent inversa, i estudiada àmpliament per Srinivasa Ramanujan.
Usos apareix en combinatòria, així com en valors de la segona funció poligamma, també anomenada funció trigamma, a arguments fraccionaris:
Simon Plouffe ofereix una col·lecció infinita d'identitats entre la funció trigamma, i la constant de Catalan; aquestes es poden expressar com a camins en un graf.
En la topologia en dimensions baixes, la constant de Catalan és un múltiple racional del volum d'un octàedre hiperbòlic ideal i, per tant, del volum hiperbòlic del complement de la baula de Whitehead.
També apareix en relació amb la distribució hiperbòlica secant.
Relació amb altres funcions especials La constant de Catalan es produeix amb freqüència en relació amb la funció de Clausen, la integral tangent inversa, la integral de sinus inversa, la funció G-Barnes, així com les integrals i les sèries que es poden sumar en funció de les funcions esmentades.
Com a exemple concret, expressant primer la integral tangent inversa en la seva forma tancada (en termes de funcions Clausen) i després expressant les funcions Clausen en termes de la funció G-Barnes, s'obté la següent expressió (vegeu la funció de Clausen per a més informació) :
.
Si es defineix el transcendent de Lerch (relacionat amb la funció zeta de Lerch) per
llavors
Sèries de convergència ràpida Les dues fórmules següents impliquen sèries de convergència ràpida i, per tant, són adequades per al càlcul numèric:
i
Els fonaments teòrics d'aquesta sèrie es donen per Broadhurst, per a la primera fórmula, i Ramanujan, per a la segona fórmula. Els algorismes per a l'avaluació ràpida de la constant de Catalan van ser construïts per E. Karatsuba.
Dígits coneguts El nombre de dígits coneguts de la constant de Catalan (K) ha augmentat de manera espectacular durant les últimes dècades. Això es deu tant a l'augment de rendiment de les computadores com a les millores algorítmiques.
+Nombre de dígits decimals coneguts de la constant de Catalan Data Dígits decimals Càlcul realitzat per... 1832 16 Thomas Clausen 1858 19 Carl Johan Danielsson Hill 1864 14 Eugène Charles Catalan 1877 20 James W. L. Glaisher 1913 32 James W. L. Glaisher 1990 Greg J. Fee 1996 Greg J. Fee 1996 (14 d'agost) Greg J. Fee i Simon Plouffe 1996 (29 de setembre) Thomas Papanikolaou 1996 Thomas Papanikolaou 1997 Patrick Demichel 1998 (4 de gener) Xavier Gourdon 2001 Xavier Gourdon i Pascal Sebah 2002 Xavier Gourdon i Pascal Sebah 2006 (octubre) Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo 2008 (agost) Shigeru Kondo i Steve PagliaruloConstants and Records of Computation 2009 (31 de gener) Alexander J. Yee i Raymond ChanLarge Computations 2009 (16 d'abril) Alexander J. Yee i Raymond Chan 2015 (7 de juny) Robert J. Setti 2016 (12 d'abril) Ron Watkins 2019 (16 de febrer) Tizian HanselmannCatalan's constant records using YMP 2019 (29 de març) Mike A i Ian Cutress
Referències
Bibliografia
Vegeu també Constant matemàtica Constant zeta Nombre de Catalan
Enllaços externs
Catalan's Constant — from Wolfram MathWorld Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) catalan's constant — www.cs.cmu.edu
Catalan Categoria:Integrals