The Method of Fluxions and infinite Series (que es podria traduir com El Mètode de les Fluxions i les sèries infinides) és un llibre d'Isaac Newton. El llibre es va acabar d'escriure el 1671, i es va publicar el 1736.
«Fluxions» és el terme que fa servir Newton per al càlcul diferencial (fluents era el seu terme per càlcul integral). Originalment va desenvolupar el mètode a Woolsthorpe Manor durant el tancament de la Universitat de Cambridge durant la gran plaga de Londres de 1665 a 1667, però va decidir donar a conèixer els seus descobriments (de forma similar, els seus descobriments que finalment varen conformar Philosophiae Naturalis Principia Mathematica eren desenvolupats en aquesta època i amagat del món entre les notes de Newton durant molts anys). Gottfried Leibniz desenvolupava el seu càlcul al voltant de 1673, i el publicava el 1684, cinquanta anys abans de Newton. La notació de càlcul que s'utilitza avui és principalment la de Leibniz, encara que la notació de Newton per a la diferenciació per a derivades respecte del temps es continua fent servir avui en dia en mecànica.
El Mètode de les Fluxions de Newton es publicava formalment de forma pòstuma, però després de la publicació de Leibniz del càlcul sorgia una rivalitat entre els dos matemàtics sobre qui havia desenvolupat el càlcul primer i així Newton ja no va amagar més el seu coneixement de les fluxions.
El Mètode de fluxions esdevingué una de les obres més importants de la història de les matemàtiques i es considera l'inici del càlcul, juntament amb De analysi per aequationes numero terminorum infinitas.
Newton i el context historico-matemàtic miniatura|esquerra|Figura 2: Isaac Newton Isaac Newton, fill d'Isaac Newton i Hannah Ayscough, va néixer el dia de Nadal de 1642 a Woolsthorpe, Lincolnshire, Anglaterra. Va tenir una infància difícil degut a la primerenca mort del seu pare i la presència del seu padrastre. Als divuit anys va entrar a la Universitat de Cambridge, on va poder accedir a coneixements abastant tot l'àmbit científic i filosòfic, llegint a autors com Descartes, Kepler i Fermat. En particular, destaca la influència de Aritmetica de John Wallis, d'on va extreure els conceptes essencials per al posterior desenvolupament del famós binomi. Isaac Barrow va ser el seu professor de matemàtiques a partir de l'any 1663. Van mantenir una gran correspondència durant els propers anys, en els quals Newton va desenvolupar un gran interès per l'escrit de Barrow Geometrical Lectures.
Barrow, Fermat i altres matemàtics del havien ideat mètodes precursors de l'anàlisi infinitesimal, en els quals Netwon va aprofundir, explicitant la relació entre els problemes de quadratura de corbes i els problemes de tangents. Es distingeixen dues tendències en els inicis: la cinemàtica, a través de Newton, Bonaventura Cavalieri i Barrow, i l'atomística, exposada per Leibniz i Fermat, entre d'altres. Es diferencien per les concepcions fluxionàries i infinitesimals dels seus mètodes, respectivament. Aquestes concepcions sovint es barregen en molts dels autors, i el propi Newton va rebre influències dels dos grups. Isaac Barrow concebia la tangent d'una corba com la prolongació dels infinits elements lineals dels quals la corba és composta, però també com la direcció d'un mòbil que genera la corba amb el seu moviment. La concepció de Barrow, inspirada en l'obra de Cavalieri, queda reflectida en el mètode de fluxions d'Isaac Newton. Però Newton aprecia els mètodes analítics de Descartes i Fermat i de lAritmetica de John Wallis, que utilitza en el desenvolupament del binomi i el tractament de les sèries infinites.
La vida d'Isaac Newton va ser afectada per la pesta de Londres a partir de l'any 1665. També coneguda com a pesta bubònica, va provocar que la Universitat de Cambridge tanqués les portes, i Newton va tornar a Woolsthorpe a treballar al pomar de la seva família. En aquest període va desenvolupar gran part de les seves contribucions: el mètode de fluxions, les lleis de la mecànica i de l'òptica i la seva famosa llei de la gravitació universal.
De Methodis Serierum et Fluxorium Newton continua desenvolupant el seu càlcul en la seva segona publicació, després de De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas, amb modificacions importants de concepte.
Les quantitats variables són considerades com el moviment continu de punts, visió diferent de l'anterior (De analysi) en la qual aquestes són enteses com una suma d'elements infinitesimals. Aquesta continuïtat del moviment està fonamentada en l'observació del moviment en el temps, tot i que el temps no estarà explícitament inclòs en la seva teoria. Newton considera que les idees de moviment continu estan massa lligades a la intuïció com per fer una definició formal, fet habitual en el Methodus fluxionum.
Per introduir aquest primer apartat del llibre, Newton considera que malgrat que tots els geòmetres contemporanis hagin estat capaços de superar tota mena de problemes relacionats amb la geometria, encara queda per desenvolupar la quadratura de corbes. Per això, diu, necessitarà una sèrie d'eines que es desenvolupen a continuació.
Resolució d'Equacions per Sèries infinites Per començar recorda un resultat de De Analysi Per Aequationes Numero Terminorum Infinitas, que és, com assegura:...Tot tipus de termes complicats (tals com fraccions amb denominador de quantitats compostes, les arrels de quantitats compostes o d'equacions afectades, i similars) poden ser reduïdes a la classe de quantitats simples; és a dir, a una sèrie infinita de fraccions, denominadors i numeradors de les quals són termes senzills.Amb aquest resultat, moltes equacions que de per sí serien pràcticament intractables, resulten molt senzilles de portar. Dit això, dona la fracció , que desenvolupa tal com indica la següent imatge, i d'on obté la igualtat:Més endavant, mostra les expansions en forma de suma infinita de fraccions de funcions com o que tenen la forma següentFinalment, a la imatge de l'esquerra observem que mitjançant l'algoritme habitual de càlcul d'arrels quadrades podem trobar l'expansió de , obtenint
Mètode del paral·lelogram Aquest enginyós mètode per aproximar arrels, també desenvolupat per Leibniz a Epístola Posterior, funciona, en paraules de l'autor de la següent manera: A B C Construeix l'angle recte , divideix els seus costats , en parts iguals i aixeca perpendiculars, distribueix l'espai angular en quadrats iguals o paral·lelograms, els quals pots denominar segons les dimensions de les espècies i tal com estan inscrites aquí. Aleshores, quan se'ns proposi una equació, marca els paral·lelograms que es corresponguin a tots els seus termes i posa un regle sobre dos o potser més paral·lelograms marcats de manera que toqui la cantonada inferior de l'esquerra de la columna i que l'altre toqui el regle a la seva dreta. Deixa la resta sense tocar pel regle que estiguin damunt d'ell. Aleshores, escull aquells termes de l'equació que estan representats pels paral·lelograms que toquen el regle i, a partir d'aquests, troba la quantitat que ha de ser considerada.Per tal que el mètode sigui més comprensible, Newton explica detalladament el procés amb la aproximació a una arrel de l'equació .
Primerament, marca els paral·lelograms corresponents als termes i amb un asterisc. Segonament, traça la línia recta , que toca els vèrtex inferiors esquerres dels paral·lelograms associats a i amb el regle. Per tant, només cal resoldre l'equació , que Newton resol mitjançant el canvi de variable , obtenint l'equació , d'on extraiem finalment les solucions i . Aquest mètode serà utilitzat com a mètode de resolució
d'equacions al llarg de la seva obra De Methodis Serierum Et Fluxorium.
Notació i Llenguatge Per finalitzar aquesta introducció, Newton defineix alguns conceptes que emprarà per a la resolució dels problemes I-XII. Aquests són: Fluent que és una quantitat gradual i indefinidament creixent, que denotarà amb , etc. Les respectives constants que puguin multiplicar aquest fluent: , etc. Fluxió que és la velocitat per a la qual cada fluent va augmentant a mesura que segueix una trajectòria. Com el concepte de velocitat va relacionat amb el temps () Newton també recorda que aquest es pot tractar com si fos qualsevol tipus de quantitat. A més, proposa denotar les fluxions de cada fluent com .
Problemes I i II Un cop desenvolupats tots aquests coneixements fonamentals per poder seguir el desenvolupament i tractament dels problemes, Newton fa el següent comentari:Però, en primer lloc, s'ha d'observar que totes les dificultats d'aquests problemes poden ser reduïdes a només dues, les quals proposo que tenen relació amb l'espai descrit pel moviment local i com s'accelera o es retarda: Donada la longitud de l'espai descrit de forma contínua (és a dir, en tot moment) trobar la velocitat de moviment en qualsevol temps proposat. Donada la velocitat del moviment de forma contínua, trobar la longitud de l'espai descrit en qualsevol temps proposat.
Problema I Aquest problema es resol mitjançant el següent mètode:
Disposa l'equació per la qual s'expressa la relació donada, segons les dimensions d'alguna de les seves quantitats fluents. Suposa , i multiplica els seus termes per qualsevol progressió aritmètica i després per fes aquesta operació separadament per cadascuna de les quantitats fluents. Després suma tots els productes i iguala'ls a res i obtindràs l'equació requerida.
Aquest mètode queda exemplificat a partir de l'equació . Construïm doncs la següent taula a partir de l'algorisme anterior:
Per tant, la suma dels productes és , equació que ens dona la relació entre les fluxions i . Després d'una sèrie d'exemples més, Newton dona la justificació d'aquest mètode:Si representa un quantitat infinitament petita i la velocitat d'increment en , és l'increment en en un temps infinitament petit. Així doncs, les quantitats i esdevenen i després d'un interval infinitament petit de temps. Es segueix que l'equació que en tot moment expressa igualment la relació de les quantitats i , expressarà la relació entre les quantitats i tan bé com amb i . Per tant, podem substituir i per i en la equació donada.Es desenvolupen doncs aquestes expressions, i es divideixen per o tots els termes de l'equació. Com o es infinitament petit, els termes que queden multiplicats per o son nuls amb comparació amb els altres. Així podem prescindir d'ells. Es comprova que aquest procés dona el mateix resultat que el mencionat anteriorment.
Observem que hi ha una certa ambigüitat tant en els termes de fluxió i fluent com en el desenvolupament d'alguns punts de la prova del mètode, com ara la cancel·lació dels termes multiplicats per . Tot i això, Newton es justifica de la següent manera: Donat que és suposadament infinitament petit […] els termes pels quals està multiplicat no seran res en comparació amb la resta; per tant, els descarto.
Problema II Newton argumenta que aquest problema és l'invers del problema anterior, i que per tant ha de ser resolt procedint de manera inversa. És a dir, els termes multiplicats per segons les dimensions de hauran de ser dividits per , i després per la dimensió corresponent. De froma similar, la suma resultant ha d'igualar-se a zero descartant els termes no significatius. Immediatament, Newton dona com a exemple l'equació , i duu a terme el procés corresponent com es veu a continuació: