Sigui un espai topològic, i . Es defineix la topologia traça (també topologia de subespai o topologia induïda) sobre , com la topologia menys fina que fa contínua a la injecció canònica: , tal que . Es denota per , i es prova que . A més a més, si l'aplicació és oberta, es diu que és un subespai obert, i que és un subespai tancat si és tancada.
Exemples La topologia traça de com a subespai de amb la topologia ordinària és la topologia discreta.
Propietats Propietats de la topologia traça sobre un subespai : Un conjunt és obert en la topologia si, i només si, existeix un obert tal que . Un conjunt és tancat en la topologia si, i només si, existeix un tancat de tal que . Si , llavors . Si és un subespai obert de , un conjunt és obert en si, i només si, és obert en . Si és un subespai tancat de , un conjunt és tancat en si, i només si, és tancat en .
Propietats hereditàries Una propietat topològica es diu que és hereditària si els subespais d'un espai topològic que cumpleix també cumpleixen .
Exemples de propietats que són hereditàries: Els axiomes de separació T0, T1 i T₂ (Hausdorff). El primer i segon axioma de numerabilitat. Ser metritzable.
La compacitat i la propietat de ser normal són exemples de propietats que no són hereditàries. Els subespais oberts hereden la separabilitat i els subespais tancats hereden la propietat de ser de Lindelöf.
Bibliografia Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966) Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004)
Enllaços externs The subspace topology, a Metric and Topological Spaces. Exemples de subespais en Topologia induïda (subespai)
Referències
Categoria:Topologia