Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (598-668) va ser un matemàtic i astrònom indi, del que va escriure dos importants treballs de matemàtiques i astronomia: el Brahma Sphuta Siddhanta, un tractat teòric escrit el 628, i el Khanda Khadyaka, un text d'orientació més pràctica. Va ser el primer que va incorporar regles per calcular amb el zero. Els seus textos estan realitzats en versos el·líptics, una pràctica comuna entre els matemàtics indis. No hi ha constància de com va evolucionar l'obra de Brahmagupta.
Vida Se suposa que va néixer a Bhinmal (Rajasthan), fill de Jisnu Gupta, encara que alguns autors ho qüestionen, ja que es basen en interpretacions de comentaristes posteriors. Probablement fou un adorador de Xiva.
L'any del seu naixement és indubtablement el 598, ja que ell mateix diu en una de les seves obres que la va escriure l'any 550 de l'era Saka (o sigui, el 628 dC) quan tenia 30 anys. També menciona en una de les seves obres que era fill de Jisnu.
No sabem res dels seus mestres, però les seves fonts inclouen les obres d'Aryabhata, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira i altres matemàtics indis antics amb els quals és molt crític.
Brahmagupta va arribar a ser el cap de l'Observatori Astronòmic d'Ujjain, el més important centre científic de l'Índia en aquell temps.
Només s'han conservat dues obres seves: El Brahma Sphuta Siddhanta (BSS), un tractat d'astronomia i matemàtiques escrit l'any 628 dC. Conté 25 capítols, si bé a , diu que són 24. amb un total de 1.008 versos. El Khanda Khadyaka (KK), un tractat d'astronomia pràctica escrit l'any 665 dC. Conté dues parts; la primera amb nou capítols i la segona amb sis. Ambdues obres, com era habitual a l'època, estan escrites en vers de mètrica arya i no contenen demostracions. Malgrat això, es poden enumerar un bon nombre d'aportacions originals de Brahmagupta a les ciències matemàtiques i astronòmiques.
Matemàtiques Àlgebra Brahmagupta va donar la solució general de l'equació lineal dins el capítol divuit de Brahma Sphuta Siddhanta:
La diferència entre rupas, quan s'inverteix i es divideix per la diferència de les incògnites, és la incògnita en l'equació. El rupas és [restats a banda] menor que el d'aquell del qual el quadrat i la incògnita es van restar.
Aquest és una solució per a l'equació equivalent a , en què rupas es refereix a les constants c i e. Posteriorment, va donar dues solucions equivalents generals a l'equació de segon grau:
18.44. Disminuir per la meitat [nombre] l'arrel quadrada del rupas multiplicat per quatre el quadrat i incrementat pel quadrat de la meitat [nombre]; dividir la resta per dues vegades l'arrel. [El resultat és] el [nombre] mitjà. 18.45. Qualsevol que sigui l'arrel quadrada del rupas multiplicat pel quadrat [i] incrementat pel quadrat de la meitat de la incògnita, disminuir a la meitat de la incògnita [i] divideix [la resta] pel seu quadrat. [El resultat és] la incògnita.
Aquestes són, respectivament, solucions per l'equació equivalent a:
i
Va poder solucionar sistemes d'equacions indeterminades simultànies declarant que la variable desitjada, primer ha de ser aïllada, i llavors l'equació ha de ser dividida per la variable desitjada del coeficient. En particular, va recomanar utilitzar "el polvoritzador" per a solucionar equacions amb múltiples incògnites.
18.51. Restar els colors diferents del primer color. [La resta] dividida pel primer [el coeficient del color] és la mesura del primer. [Termes] de dos en dos [són] considerats [quan són reduïts a] similars divisors, [i així] repetidament. Si hi ha molts [colors], el polvoritzador [és per ser utilitzat].
Com l'àlgebra de Diofant, l'àlgebra de Brahmagupta era sincopada. L'addició s'indicava col·locant els nombres l'un al costat de l'altre, la resta col·locant un punt sobre el subtrahend, i la divisió col·locant el divisor sota el dividend, similar a la notació actual, però sense una línia entre els dos operands. La multiplicació, l'evolució i les incògnites van ser representades amb abreviatures de termes apropiats.
Aritmètica Les quatre operacions fonamentals (addició, subtracció, multiplicació i divisió) ja eren conegudes en moltes cultures abans de Brahmagupta. El sistema actual està basat en el sistema de nombres indoaràbic que apareix per primer cop al Siddhanta de Brahmasputa. Allà hi descriu la multiplicació com “el multiplicand és repetit com una corda per a bestiar, tants cops com a parts hi ha al multiplicador i es multiplica repetidament per aquests i els productes se sumen junts. És la multiplicació. O el multiplicand es repeteix tantes vegades com a parts hi hagi al multiplicador”.A partir de la traducció anglesa del Brahma Sputha Siddhanta de H. T Colebrook, 1817
L'aritmètica índia va ser coneguda a l'Europa medieval com a Modus Indoram o mètode dels indis. En el Brahma Sphuta Siddhanta, la multiplicació va ser anomenada Gomutrika. Al començament de capítol dotze del llibre, titulat Càlcul, Brahmagupta detalla operacions en fraccions. S'espera que el lector conegui les operacions aritmètiques bàsiques, així com l'arrel quadrada, tot i que explica com trobar el cub i l'arrel cúbica d'un enter i després dona regles per facilitar el càlcul de quadrats i arrels quadrades. També aporta regles per tractar cinc tipus de combinacions de fraccions, , , , , i .
Sèrie Brahmagupta també va proporcionar la suma dels quadrats i cubs dels primer n enters. 12.20. La suma dels quadrats és aquella [suma] multiplicada per dues vegades el [nombre de] pass[es] incrementades per un [i] dividit per tres. La suma dels cubs és el quadrat d'aquella [suma]. Piles d'aquests amb idèntiques pilotes [també poden ser comptades].
Aquí, Brahmagupta mostra el resultat en termes de la suma dels primers n enters, més que en termes de n com és en la pràctica moderna.
Aportava la suma dels quadrats dels primers n nombres naturals com n(n+1)(2n+1)/6 i la suma dels cubs dels primers n nombres naturals com (n(n+1)/2)².
Zero i nombres negatius El Brahma Sphuta Siddhanta és el primer llibre que esmenta el zero com a nombre; per això, Brahmagupta és considerat el primer a formular aquest concepte. Va donar regles d'utilització del zero amb nombres negatius i positius. Zero més un nombre positiu és un nombre positiu i afegint un nombre negatiu al zero és un nombre negatiu, etc. Al text, es tracta el zero com un nombre en si mateix, més que com un simple marcador de dígits en la representació d'un altre nombre, com varen fer els babilonis o com un símbol que expressa la manca de quantitat com va fer Ptolemeu i els romans.
Al capítol divuit del seu Brahma Sphuta Siddhanta, Brahmagupta descriu operacions amb nombres negatius. Primer descriu l'addició i la subtracció, 18.30. [La suma] de dos positius és positiu, de dos negatius, un negatiu; d'un positiu i un negatiu [la suma] és la seva diferència; si són iguals, serà zero. La suma d'un negatiu i zero és negatiu, [i] d'un positiu i zero, és positiu, [i] de dos zeros, és zero. […] 18.32. Un negatiu menys zero és negatiu, un positiu [menys zero], positiu; zero [menys zero] és zero. Quan un positiu és restat d'un negatiu o un negatiu d'un positiu, llavors el resultat és l'addició.
Va descriure la multiplicació: 18.33. El producte d'un negatiu i un positiu és negatiu, de dos negatius és positiu, i de positius és positiu; el producte de zero i un negatiu, o zero i un positiu, o de dos zeros és zero.
Però la seva descripció de divisió entre zero difereix de la nostra comprensió moderna: 18.34. Un positiu dividit per un positiu o un negatiu dividit per un negatiu és positiu; un zero dividit per un zero és zero; un positiu dividit per un negatiu és negatiu; un negatiu dividit per un positiu és [també] negatiu. 18.35. Un negatiu o un positiu dividit per zero té aquest [zero] com el seu divisor, o zero dividit per un negatiu o un positiu [té aquest negatiu o positiu com el seu divisor]. El quadrat d'un negatiu o d'un positiu és positiu; [el quadrat] de zero és zero. Allò del qual [el quadrat] és el quadrat és [la seva] arrel quadrada.
Aquí, Brahmagupta fixa que i quant a la qüestió de en què , no ho va definir. Les seves regles aritmètiques per als nombres negatius i el zero són bastant properes a la definició moderna, exceptuant que en les matemàtiques modernes la divisió per zero queda indefinida.
Sistemes de congruència lineal Un dels problemes en els quals es va interessar Brahmagupta va ser el de trobar un nombre enter que, dividit per dos altres enters, donés uns residus establerts. En notació moderna, seria trobar un tal que: i
El problema resideix, finalment, en la resolució d'una equació diofàntica:
per a la qual dona un algoritme.
18.51. Restar els colors diferents del primer color. [La resta] dividida pel primer [el coeficient del color] és la mesura del primer. [Termes] de dos en dos [són] considerats [quan són reduïts a] similars divisors, [i així] repetidament. Si hi ha molts [colors], el polvoritzador [és per ser utilitzat].
Com l'àlgebra de Diofant, l'àlgebra de Brahmagupta era sincopada. L'addició s'indicava col·locant els nombres l'un al costat de l'altre; la resta col·locant un punt sobre el subtrahend, i la divisió col·locant el divisor sota el dividend, similar a la notació actual, però sense una línia entre els dos operands. La multiplicació, l'evolució i les incògnites van ser representades amb abreviatures de termes apropiats. Anàlisi diofàntica Ternes pitagòriques Dins el capítol dotze del seu Brahma Sphuta Siddhanta, Brahmagupta situa les ternes pitagòriques: 12.39. L'alçada d'una muntanya multiplicada per un multiplicador donat és la distància a una ciutat; no esborrar-lo. Quan és dividit pel multiplicador augmentat per dos, és el salt d'un del dos que fan el mateix viatge. O, en altres paraules, per a una longitud donada m i un multiplicador arbitrari x, sigui a = mx i b = m + mx/(x + 2). Llavors m, a, i b formen una terna pitagòrica.
Equació de Pell Brahmagupta va continuar aportant una relació de recurrència per a la generació de solucions per a certs casos d'equacions diofàntiques de segon grau, com ara (anomenada equació de Pell) per utilitzar l'algorisme euclidià. L'algorisme d'Euclides li era conegut com el "polvoritzador", ja que trenca els nombres en trossos cada vegada més petits. La naturalesa dels quadrats: 18.64. [Poseu] dues vegades l'arrel quadrada d'un quadrat donat per un multiplicador i augmenteu o disminuïu per un [nombre] arbitrari. El producte del primer [parell], multiplicat pel multiplicador, amb el producte del darrer [parell], és el darrer calculat. 18.65. La suma dels productes és el primer. L'addició és igual al producte dels sumands. Les dues arrels quadrades, dividides per l'addició o la subtracció, és el sumand rupas.
El clau a la seva solució era la identitat,
la qual és una generalització d'una identitat que va ser descoberta per Diofant,
Utilitzant la seva identitat i el fet que si i són solucions a les equacions i , respectivament, llavors és una solució a , va poder trobar solucions integrals a l'equació de Pell amb una sèrie d'equacions de la forma . Malauradament, Brahmagupta no va ser capaç d'aplicar la seva solució uniformement per a tots els valors possibles de N, més aviat, només va poder mostrar que si té una solució d'enter per k = ±1, ±2, o ±4, llavors té una solució. La solució general de l'equació de Pell hauria d'esperar fins a Bhaskara II, al c. 1150.
Trigonometria Taula de sinus Dins el capítol 2 del seu Brahmasphutasiddhanta, sota el títol Longituds planetàries reals, Brahmagupta presenta una taula de sinus:
2.2-5. Els sinus: els progenitors, bessons; Ursa Major, bessons, el Vedas; els déus, focs, sis; sabors, daus, els déus; la lluna, cinc, el cel, la lluna; la lluna, fletxes, sols [...]