miniatura|upright=1.5|Distribució χ², amb a l'eix x i el valor p (probabilitat de la cua dreta) a l'eix y. En estadística i estadística aplicada es denomina prova de khi quadrat (pronunciat [xi]) o prova de χ² a qualsevol contrast d'hipòtesis en el qual l'estadístic utilitzat segueix una distribució χ² si la hipòtesi nul·la és certa. Alguns exemples de proves χ² són els següents:
La prova de khi-quadrat de Pearson, la qual té nombroses aplicacions: La prova χ² de freqüències. La prova χ² d'independència. La prova χ² de bondat d'ajust. La prova de khi-quadrat de Pearson amb correcció per continuïtat o correcció de Yates. La prova de Bartlett d'homogeneïtat de variàncies.
La prova és vàlida quan l'estadística de la prova és distribuïda khi quadrat sota la hipòtesi nul·la, específicament prova de khi quadrat de Pearson i variants d'aquesta. La prova de khi-quadrat de Pearson s'utilitza per a determinar si existeix una diferència estadísticament significativa entre la freqüència esperada i les freqüències observades en una o més categories d'una taula de contingència. Per a taules de contingència amb grandàries de mostra més petites es fa servir en el seu lloc una prova exacta de Fisher.
En les aplicacions estàndard d'aquesta prova, les observacions es classifiquen en classes mútuament excloents. Si la hipòtesi nul·la segons la qual no hi ha diferències entre les classes de la població és certa, l'estadística de prova calculada a partir de les observacions segueix una distribució de freqüències . El propòsit de la prova és avaluar quina probabilitat tindrien les freqüències observades suposant que la hipòtesi nul·la fos certa.
Els estadístics de prova que segueixen una distribució ocorren quan les observacions són independents. També hi ha proves per a provar la hipòtesi nul·la d'independència d'un parell de variables aleatòries basades en observacions dels parells.
El terme prova de khi quadrat sol referir-se a proves en les quals la distribució de l'estadístic de prova s'aproxima a la distribució de forma asimptòtica, la qual cosa significa que la distribució mostral (si la hipòtesi nul·la és una certa) de l'estadístic de prova s'aproxima cada vegada més a una distribució khi quadrat a mesura que augmenten les grandàries de mostra.
Història Al , els mètodes d'anàlisi estadística s'aplicaven principalment en l'anàlisi de dades biològiques i era habitual que els investigadors assumissin que les observacions seguien una distribució normal, tal com feren Sir George Airy i Mansfield Merriman, els treballs dels quals van ser criticats per Karl Pearson en un article seu de 1900.
A finals del segle XIX, Pearson es va adonar de l'existència d'una asimetria significativa en algunes observacions biològiques. Per a modelar les observacions independentment que fossin normals o esbiaixades, Pearson, en una sèrie d'articles publicats entre 1893 i 1916, va desenvolupar la distribució de Pearson, una família de distribucions de probabilitat contínua que inclou la distribució normal i nombroses distribucions esbiaixades, i va proposar un mètode d'anàlisi estadística consistent a utilitzar la distribució de Pearson per a modelar les observacions i fer proves de bondat d'ajust per a determinar si un model s'ajusta a les observacions.
Prova de khi quadrat de Pearson
El 1900 Pearson va publicar un treball sobre la prova que és considerat una de les pedres fundacionals de l'estadística moderna. En aquest treball, Pearson va investigar una prova de bondat d'ajust.
Suposi's que observacions d'una mostra aleatòria d'una població es classifiquen en classes mútuament exclusives amb nombres observats respectius (per a ), i una hipòtesi nul·la dona la probabilitat que una observació caigui dintre la classe -èsima. S'obté, per tant, els nombres esperants per a tot , on:
Pearson proposà que, sota la circumstància que la hipòtesi nul·la sigui correcta, si la distribució limitant de la quantitat de sota és la distribució .
Pearson tractà primer el cas en el qual els nombres esperants són nombres prou grans i coneguts en totes les cel·les assumint que tota observació es pugui considerar normalment distribuïda, i arribà al resultat que, al límit quan esdevé molt gran, X2 segueix la distribució amb graus de llibertat.
Tanmateix, a continuació Pearson considerà el cas en el qual els nombres esperats depenen dels paràmetres a estimar a partir de la mostra, i suggerí que, amb la notació de , sent els nombres esperats verdaders i sent els nombres esperats estimats, la diferència
usualment seria positiva i prou petita per a poder omesa. En conclusió, Pearson argumentà que si es mira X2 també distribuïda com una distribució amb graus de llibertat, l'error d'aquesta aproximació no afecta les decisions pràctiques. Aquesta conclusió causà una mica de controvèrsia en aplicacions pràctiques i no es resolgué definitivament fins al cap de vint anys, amb la publicació dels articles de Fisher de 1922 i 1924.
Altres exemples de proves de khi quadrat Un estadístic de prova que segueix una distribució khi quadrat de manera exacta és el test que la variància d'una població normalment distribuïda té un cert valor basat en una variància mostral. Aquests tests són poc comuns a la pràctica perquè normalment es desconeix la variància real de la població. Tanmateix, existeixen moltes proves estadístiques en les quals la distribució khi quadrat és aproximadament vàlida:
Prova exacta de Fisher Per a la prova exacta utilitzada en lloc de la prova de khi quadrat 2 × 2 d'independència, vegeu Prova exacta de Fisher.
Prova binomial Per a la prova exacta usada en lloc de la prova de khi quadrat 2 × 1 de bondat d'ajust, vegeu Prova binomial.
Altres proves de khi quadrat Prova de khi quadrat de Cochran–Mantel–Haenszel. Prova de McNemar, utilitzada en algunes taules amb aparellament. Prova d'addictivitat de Tukey. Prova portmanteau en anàlisi de sèries temporals per a detectar la presència d'autocorrelació. Prova de raó de versemblança en modelitzat estadístic general, per provar si hi ha evidència de la necessitat de moure d'un model simple a un de més complicat.
Exemple de prova de khi quadrat per a dades categòriques Suposi's que hi ha una ciutat amb 1.000.000 de residents amb quatre veïnats , , i . Es pren una mostra aleatòria de 650 residents de la ciutat i es classifiquen segons el tram de renda econòmica «baixa», «mitjana» o «alta». La hipòtesi nul·la és que el veïnat de residència de cada persona és independent de la seva posició de tram de renda econòmica. Les dades es troben tabulades en la següent taula:
{| class=wikitable style="text-align: right;" |- ! !! !! !! !! !! Total |- |style="text-align: left;"| Renda baixa || 90 || 60 || 104 || 95 || 349 |- |style="text-align: left;"| Renda mitjana || 30 || 50 || 51 || 20 || 151 |- |style="text-align: left;"| Renda alta || 30 || 40 || 45 || 35 || 150 |- !style="text-align: left;"| Total || 150 || 150 || 200 || 150 || 650
Preneu la mostra de les persones que viuen al veïnat , 150, per a estimar quina proporció del total d'1.000.000 habitants viuen al veïnat . De la mateixa manera, calculeu per a estimar quina proporció dels 1.000.000 habitants són de renda baixa. Per assumpció d'independència sota la hipòtesi nul·la s'hauria d'"esperar" que el nombre de persones de «renda baixa» al veïnat són:
En aquesta cel·la de la taula es té que:
La suma d'aquestes quantitats sobre totes les cel·les és l'estadístic de prova; en aquest cas, . Sota la hipòtesi nul·la, aquesta suma té aproximadament una distribució de khi quadrat amb el següent nombre de graus de llibertat:
Si l'estadístic de prova és improbablement gran segons aquesta distribució de khi quadrat, es rebutja la hipòtesi nul·la d'independència.
Notes
Referències
Bibliografia
Enllaços externs Chi-Square Calculator from GraphPad
Categoria:Estadística no paramètrica Categoria:Contrast d'hipòtesis