En estadística i teoria de la probabilitat, la matriu de covariància és una matriu que conté la covariància entre els elements d'un vector. És la generalització natural a dimensions superiors del concepte de variància d'una variable aleatòria escalar.
Definició Si les entrades del vector-columna
són variables aleatòries, cadascuna amb variància finita, llavors la matriu de covariància Σ és la matriu l'entrada ( i , j ) és la covariància
on
és el valor esperat de l'entrada i -èsima del vector X . En altres paraules, tenim
Com una generalització de la variància L'anterior definició és equivalent a la igualtat matricial
Per tant, s'entén que això generalitza a majors dimensions el concepte de variància d'una variable aleatòria escalar X , definida com
on
Propietats Per i , les següents propietats fonamentals es demostren correctes:
és semidefinida positiva
Si els vectors i són d'igual dimensió, llavors
Si i són independents, llavors
on i són vectors aleatoris de dimensió , és un vector aleatori , és , i són matrius de .
La matriu de covariància (encara que molt simple) és una eina molt útil en diversos camps. A partir d'ella es pot derivar una transformació lineal que pot de-correlacionar les dades o, des d'un altre punt de vista, trobar una base òptima per representar les dades de forma òptima (vegeu quocient de Rayleigh per la prova formal i altres propietats de les matrius de covariància). Això es diu anàlisi del component principal (PCA per les seves sigles en anglès) en estadística, i transformada de Karhunen-Loev a processament de la imatge.
Bibliografia addicional Covariance Matrix a MathWorld Van Kampen, N. G. Teoria processes in physics and chemistry . New York: North-Holland, 1981.
Nota
Categoria:Covariància i correlació Covariància Categoria:Estadística