En matemàtica, la Notació de Landau , també anomenada "o minúscula" i "O majúscula", és una notació per a la comparació asimptòtica de funcions, la qual cosa permet establir la cota inferior asimptòtica, la cota superior asimptòtica i la cota ajustada asimptòtica. Anomenada així per Edmund Landau, qui va desenvolupar la teoria.
Definició La notació de Landau es defineix de la següent manera:
Si f, g són funcions complexes definides en un entorn d'un punt , aleshores quan si i només si hi ha un tal que per a tot en un entorn de . quan si i només si per tot hem de per a tot en un entorn de .
Una versió una mica més restrictiva però més manejable que la definició anterior és la següent:
Siguin , dues funcions definides per i sigui . Els símbols , signifiquen respectivament que quan , i que està tancat per prou gran. La mateixa notació és usada quan tendeix a un límit finit o , o també quan tendeix al seu límit a través d'una seqüència discreta de valors. En particular, una expressió és o si aquesta expressió tendeix a zero o aquesta fitada respectivament.
Dues funcions i definides en un veïnatge d'un punt (finit o infinit) són anomenades asimptòticament iguals si quan
Si les fraccions , estan acotades en un veïnatge de es diu que , són del mateix ordre quan
Propietats Context de les propietats
Siguin i suposem que és una funció definida sobre un interval finit o infinit i és integrable en qualsevol interval amb podem escriure
Sigui una successió de nombres i sigui
la mateixa notació serà utilitzada per altres lletres. Es tenen les següents propietats:
Suposeu que , estan definides en i integrables en qualsevol , que i que quan . Si quan , aleshores també s'haurà de Siguin dues successions de nombres, aquesta última positiva. Si i , llavors Suposeu que la sèrie convergeix, que els 's són positius, i que . llavors Sigui una funció positiva, monòtona i finita definida per i sigui Llavors si decrementa, tendeix a un límit finit si s'incrementa, Sigui positiva, finita i monòtona per . Si es compleix s'incrementa i o s'incrementa i , llavors és asimptòticament igual a
Vegeu també Cota superior asimptòtica Cota inferior asimptòtica Cota ajustada asimptòtica
Bibliografia Trigonometric Sèries vol 1 A. Zygmund
Categoria:Anàlisi asimptòtica Categoria:Complexitat computacional Landau