En Probabilitat i Estadística, molt sovint al resultat que s'obté en un experiment aleatori o un estudi estadístic se li associem diversos nombres; per exemple, triem una persona a l'atzar i en mesurem el pes i l'alçada: tenim així dues mesures, i , que considerades conjuntament constitueixen un vector aleatori. Formalment, un vector aleatori -dimensional és un vector tal que cada component , és una variable aleatòria.
Definició Nota. A la secció Exemples al final de l'article hi ha desenvolupats dos exemples amb vectors aleatoris bidimensionals que poden ser útils a les persones que prefereixin començar analitzant casos concrets.
Considerem un espai de probabilitat . Un vector aleatori -dimensional és una aplicació tal que cada component és una variable aleatòria. També s'anomena variable aleatòria -dimensional.
Comentaris sobre les notacions.
Hem escrit el vector en fila, però en Estadística multivariant és molt freqüent escriure els vectors en columna, ja que es fan moltes operacions amb matrius i és més convenient seguir les normes estàndard de l'àlgebra lineal. En aquest article escriurem els vectors en fila, excepte a les seccions dedicades a l'esperança d'un vector aleatori i a la matriu de variàncies-covariàncies, i als exemples que tractem de lleis normals multidimensionals. Per alleugerir les fórmules, s'utilitzen 'comes com a interseccions; així, donats uns conjunts de , O bé, en el cas discret que veurem a continuació, per s'escriu
Vectors aleatoris discrets Un vector aleatori es diu que es discret si només pot prendre un nombre finit o numerable de valors; en altres paraules, si existeix un conjunt finit o infinit numerable tal que .
S'anomena funció de probabilitat (a vegades s'afegeix conjunta) del vector o funció de repartiment de massa a la funció
Les distribucions de probabilitat de cadascuna de les components dels vector, , o dels vectors , , , s'anomenen distribucions marginals.
A partir de la funció de probabilitat del vector podem calcular totes les distribucions marginals sumant respecte les altres components: per exemple, per simplificar la notació, la funció de probabilitat de , on , és
Exemple: Distribució multinomial
Considerem un experiment que pot tenir resultats diferents, que designarem per , amb probabilitats , . Fem repeticions independents i denotem per el nombre de vegades que obtenim el resultat , per el nombre de vegades que obtenim el resultat , i així successivament. Aleshores la probabilitat d'obtenir vegades el resultat , vegades el resultat , etc. amb és
Es diu que el vector segueix una distribució multinomial de paràmetres , i s'escriu . Cal notar que cada component té una distribució binomial de paràmetres i , . De fet, una distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan hi ha més de dos resultats possibles.
Per exemple, tenim una urna amb 4 boles blanques, 3 vermelles i 3 grogues. Traiem boles amb reemplaçament, és a dir, traiem una bola, anotem el color, la retornem a l'urna, en traiem una altra, etc. Designem per: : nombre de boles blanques que traiem. : nombre de boles vermelles que traiem. : el nombre de boles grogues que traiem. Aquí, , i . Llavors, la probabilitat de treure 1 bola blanca, 1 vermella i 2 grogues és A partir d'aquí, podem calcular, per exemple, la distribució marginal del vector aleatori o la de la variable aleatòria
Vectors aleatoris absolutament continus o amb funció de densitat Es diu que un vector aleatori és absolutament continu, o senzillament continu, si existeix una funció , anomenada funció de densitat (conjunta), que compleix
1. 2. 3. Per a qualsevol (en rigor ha de ser un conjunt de Borel de ), tenim En particular, si , tenim
A partir de la funció de densitat conjunta pot calcular-se la funció de densitat de qualsevol vector , , , que s'anomena la densitat marginal; per exemple, la densitat marginal de , amb és
Exemple: distribució normal multidimensional Un vector aleatori -dimensional amb funció de densitates diu que té una llei normal multidimensional o multivariada, on és la matriu identitat. Cada component del vector té una distribució normal estàndard .
Vegeu els vectors aleatoris normals multidimensionals generals als exemples de la secció Funcions d'un vector aleatori amb densitat.
Funcions de distribució multidimensional
La funció de distribució d'un vector aleatori és la funció definida per
Si el vector aleatori té funció de densitat , aleshores la funció de distribució del vector és
Si la funció de densitat és contínua en el punt , aleshores
Variables aleatòries independents Recordem que es diu que les variables aleatòries són independents si per a qualsevol conjunts (en rigor, conjunts de Borel de ),
Designem per la funció de distribució del vector , i per les funcions de distribució de les variables aleatòries (marginals). Aleshores són independents si i només si
En el cas discret la independència equival a que la funció de probabilitat conjunta sigui igual al producte de marginals: són independents si i només si
En el cas absolutament continu, la propietat d'independència equival a que la densitat conjunta sigui igual al producte de marginals: són independents si i només si
Per exemple, en el cas de la distribució normal multidimensional que hem comentat, les distribucions marginals de les diferents components són lleis normals estàndard: tenim que per a , Llavors és clar que es compleix la condició anterior i, per tant, les variables són independents.
Vectors aleatoris independents Considerem vectors aleatoris, que poden ser de dimensions diferents: . Es diu que són independents si per qualsevol , on és la -àlgebra de Borel sobre , Les caracteritzacions de la independència de variables aleatòries en els casos discret i continus es trasllada al cas de vectors aleatoris.
Esperança d'una funció d'un vector aleatori Sigui un vector aleatori i una funció (mesurable), tenim que és una variable aleatòria de la qual podrem calcular l'esperança quan . Si és discret, aleshores sempre que Si és absolutament continu, aleshores sempre que Naturalment, si tenim una funció que només fa intervenir una part de , posem , amb, , , aleshores l'esperança de es calcula utilitzant la distribució marginal d'aquest vector.
Moments d'un vector aleatori Considerem un vector aleatori i siguin . Es diu que té moment d'ordre si , i, en aquest cas, es defineix el moment d'ordre (alguns autors diuen moment mixt) per
D'acord amb les fórmules que hem vist abans, si el vector és discret, aleshores Si el vector aleatori és absolutament continu,Tenim la següent propietat: Si , aleshores per a , tenim que té moment d'ordre .
Vegeu els moments factorials en la secció de la funció generatriu de probabilitats.
Esperança d'un vector aleatori Totes les propietats d'aquesta secció i la següent es troben demostrades a Seber. Atès que farem operacions matricials, en aquesta secció i la següent escriurem tots els vectors en columna; en particular, escriurem en columna els elements de . Donada una matriu (o vector) designarem per la seva transposada. Considerem un vector aleatori tal que totes les seves components tinguin esperança. Aleshores es defineix l'esperança de per Propietats Si , aleshores Siguin i dos vectors aleatoris -dimensionals amb esperances finites, i i dues matrius d'ordre . Aleshores
Matriu de variàncies-covariàncies Continuem escrivint tots els vectors en columna. Si totes les components del vector tenen variància, aleshores es defineix la seva matriu de variàncies-covariàncies o matriu de dispersió: Atès que , aquesta matriu també s'escriu
Propietats 1. Donat que , la matriu es simètrica. 2. La matriu és semidefinida positiva, ja que per qualsevol , A més, el determinant de la matriu és 0 si i només si hi ha una relació lineal entre les variables , això és, existeixen escalars , no tots nuls, tals que 3. Si és un vector -dimensional, una matriu i , aleshores Exemples 1. Sigui . Aleshores, donat que cada component té una distribució binomial ,
També tenim que Per calcular les covariàncies cal utilitzar la marginal de i s'obté que (vegeu els exemples de la secció Funció característica). Així, 2. En el cas del vector normal multidimensional . D'altra banda, i, atès que les variables són independents, . Llavors
Ampliació: Matriu de covariàncies entre dos vectors En el que segueix és convenient introduir les matrius aleatòries que són matrius tals que les seves components són variables aleatòries. Sigui una d'aquestes matrius, de dimensions :
S'anomena esperança de la matriu aleatòria a la matriu Sigui un vector aleatori -dimensional i un vector aleatori -dimensional ambdós amb moments de segon ordre. S'anomena matriu de covariàncies de i a la matriu de dimensions Propietats. Si aleshores la matriu de covariàncies coincideix amb la matriu de variàncies-covariàncies: Si i , aleshores En particular, Siguin i dos vectors aleatoris de dimensions i respectivament i i matrius de dimensions i respectivament, aleshores
Funció característica i altres transformades
Funció característica La funció característica d'un vector aleatori és la funció definida per Les funcions característiques de les distribucions marginals es dedueixen fàcilment de la funció característica conjunta; per exemple, per simplificar les notacions, per a ,Propietats.Unicitat. La funció característica determina la distribució del vector ; concretament, si i són dos vectors aleatoris, amb funcions característiques i respectivament, tals que aleshores i tenen la mateixa distribució (tenen la mateixa funció de distribució, o si són discrets tenen la mateixa funció de probabilitat, o si són absolutament continus tenen la mateix funció de densitat). La propietat recíproca evidentment també és certa.Funció característica i independència. Els vectors aleatoris -dimensionals són independents si i només si Funció característica i suma de vectors aleatoris independents. Siguin vectors aleatoris -dimensionals independents i posem Aleshores Funció característica i moments. La següent propietat és especialment útil per a calcular els moments d'un vector aleatori: Si el vector aleatori compleix , on , aleshores la funció característica és de classe i per a , , Recíprocament, si la funció característica és de classe per a parell, aleshores el vector té moments d'ordre per qualsevol , Exemple. Vector multinomial. Retornem al vector multinomial . La seva funció característica és El vector té moments de tots els ordres perquè les seves components són variables aleatòries positives i afitades per . Podem calcular de la següent manera: d'on Exemple: Vector normal multidimensional. El vector té funció característica
Funció generatriu de moments Sigui un vector aleatori. La funció definida en aquells punts on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena funció generatriu de moments de . Atès que per qualsevol nombre real , , sempre es pot calcular l'esperança de , però pot donar infinit. Evidentment, sempre està definida en i . Quan està definida (o existeix) en un entorn de , aleshores té molt bones propietats i pot substituir la funció característica, amb l'avantatge que és una funció real i, per tant, més fàcil d'utilitzar; d'altra banda, en aquest cas, es pot estendre el domini de definició a un subconjunt de .
Afortunadament, molts vectors aleatoris que apareixen habitualment en l'Anàlisi de la variància i en l'Anàlisi estadística multivariant tenen funció generatriu de moments, però no tots, tal com després veurem.
Alguns autors anomenen transformada de Laplace la funció generatriu de moments; si el vector aleatori només pren valors positius i té funció de densitat , aleshores que, a part del signe de , és la transformada de Laplace (multidimensional) de la funció .