En matemàtica, una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal).
Definició formal Suposem una funció la definició de la qual és entre dos espais vectorials sobre el mateix cos . Llavors es diu que és homogènia de grau k si:
Exemples Les funcions lineals Qualsevol funció lineal és homogènia de grau 1, ja que per definició es té:
per a tot i . De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal és homogènia de grau n, per definició.
per a tot i . Se segueix que la n-èsima derivada de Fréchet d'una funció entre dos espais de Banach i és homogènia de grau n.
Polinomis homogenis Els monomis en variables reals defineixen funcions homogènies . Per exemple,
és homogènia de grau 10, ja que:
Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple,
és un polinomi homogeni de grau 5.
Propietats El teorema d'Euler sobre funcions homogènies estableix:
Suposem que és diferenciable i homogènia de grau k. Llavors les seves derivades parcials de primer ordre són funcions homogènies de grau k-1.
Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu i es pren l'equació
Definint i derivant respecte a , trobem per la regla de la cadena que:
I per tant:
I finalment:
Aplicació a les EDOs Si i són funcions homogènies del mateix grau, la substitució converteix l'equació diferencial ordinària (EDO)
en l'equació diferencial separable:
Bibliografia
Enllaços externs Funció homogènia a Planet Math
Categoria:Àlgebra lineal Homogenia