En matemàtiques, i més concretament en anàlisi funcional, l'operador de decalatge és un operador que porta una funció a la seva translació . En l'anàlisi de sèries temporals, hom diu que l'operador de decalatge és l'operador de retard.
Els operadors de decalatge són uns exemples d'operadors lineals, importants per la seva simplicitat i la seva presència natural. L'acció de l'operador de decalatge sobre funcions de variable real juga un rol important en anàlisi harmònica; per exemple, apareix en les definicions de les funcions quasi-periòdiques, les funcions definides positives i la convolució. Els decalatges sobre successions (funcions de variable entera) apareixen en àrees diverses, com ara els espais de Hardy, la teoria de varietats abelianes, o la teoria de dinàmica simbòlica, on l'aplicació del forner n'és una representació explícita.
Definició Funcions de variable real L'operador de decalatge () porta una funció sobre ℝ a la seva translació ,
Una representació pràctica de l'operador lineal en termes de la seva derivada fou introduïda per Lagrange,
que es pot interpretar com la seva expansió en sèrie de Taylor al voltant de t, i que actua evidentment sobre el monomi xn pel teorema del binomi, i en conseqüència sobre tota la sèrie en x.
Successions L'operador decalatge cap a l'esquerra actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com
i sobre successions infinites per les dues bandes com
L'operador decalatge cap a la dreta actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com
i sobre successions infinites per les dues bandes com
Grups abelians En general, si és una funció sobre un grup abelià , i és un element de , l'operador de decalatge envia a
Propietats de l'operador de decalatge L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions reals o complexes, o sobre successions, és un operador lineal que preserva la majoria de les normes habituals que apareixen a l'anàlisi funcional. Per tant, normalment és un operador afitat amb la norma-1.
Acció sobre espais de Hilbert L'operador de decalatge, quan actua sobre successions infinites per les dues bandes, és un operador unitari sobre . L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions de variable real és un operador unitari sobre .
En ambdós casos, l'operador de decalatge (per l'esquerra) satisfà la següent relació de commutativitat amb la transformada de Fourier:
on és l'operador de multiplicació per . Per tant, l'espectre de és la circumferència unitat.
L'operador de decalatge d'una sola banda , quan actua sobre , és una isometria pròpia amb recorregut igual a tots els vectors que tenen la primera coordenada igual a 0. L'operador S és una compressió de T−1, en el sentit que
on és el vector de amb = per i = per . Aquesta observació és la base de la construcció de moltes dilatacions unitàries d'isometries.
L'espectre de S és el disc unitat. L'operador de decalatge S és un exemple d'un operador de Fredholm, amb índex −1.
Generalització Jean Delsarte introduí la noció d'operador de decalatge generalitzat (també anomenat operador de desplaçament generalitzat); aquesta noció fou desenvolupada posteriorment per Boris Levitan.
Una família d'operadors actuant sobre un espai de funcions d'un conjunt a s'anomena família d'operadors de decalatge generalitzats si es compleixen les següents propietats: Associativitat: sigui = . Llavors = . Existeix un tal que és l'operador identitat. En aquest cas, hom diu que el conjunt és un hipergrup.
Referències
Bibliografia
Vegeu també Desplaçament aritmètic Desplaçament lògic
Categoria:Anàlisi funcional Categoria:Funcions Categoria:Àlgebra lineal