Aquest article proporcional una definició matemàtica. Per a un article més accessible, vegeu Nombre decimal.
Una representació decimal d'un nombre real no negatiu r és una expressió en forma d'una sèrie, que tradicionalment s'escriu com la suma
on a0 és un enter no negatiu, i a1, a₂, … són enters que satisfan 0 ≤ ai ≤ 9, que hom anomena els dígits de la representació decimal. La successió de dígits pot ser finita, i en aquest cas els dígits posteriors ai són 0. Alguns autors estan en contra de les representacions decimals amb una seqüència infinita de 9. Tot i aquesta restricció, encara existeix una representació decimal per a cada real no negatiu, i addicionalment fa que aquesta representació sigui única. El nombre que es defineix per una representació decimal s'acostuma a escriure:
És a dir, a0 és la part entera de r, no necessàriament entre 0 i 9, i a1, a₂, a₃, … són els dígits que configuren la part fraccionària de r.
Totes dues notacions són, per definició, el següent límit: .
Aproximacions decimals finites Tot nombre real es pot aproximar, amb un grau arbitrari de precisió, per nombres racionals amb representacions decimals finites.
Suposem que . Llavors, per qualsevol enter existeix un decimal finit tal que:
La representació decimal no és única
Alguns nombres reals tenen dues representacions decimals infinites. Per exemple, el nombre 1 es pot representar tant 1,000... com 0,999... (aquí, hem representat les seqüències infinites de 0 i de 9 per "...").
Representacións amb nombre finit de decimals L'expansió decimal d'un nombre real no negatiu x finalitza smb zeros (o amb nous) si i només si x és un nombre racional amb denominador de la forma 2n5m, on m i n són enters no negatius.
Representacions decimals periòdiques
Alguns nombres reals tenen representacions decimals on alguns (un o més) dígits es repeteixen: ¹/₃ = 0.33333... ¹/₇ = 0.142857142857... 1318/185 = 7.1243243243... Quan succeeix això, el nombre és un racional, és a dir, es pot representar pel quocient entre un enter i un enter positiu.
Curiositats El nombre real representat per 0,1234567891011121314151617... té una representació decimal previsible i no periòdica. Aquest real és la constant de Champernowne, anomenada així pel matemàtic anglès que la va inventar el 1933. Aquest nombre és irracional, transcendent (demostrat per Kurt Mahler el 1961) i normal en base 10. La constant de Copeland-Erdős 0,2357111317192329313741..., formada per la successió dels nombres primers, també és normal en base 10. El nombre real representat per 0,110001000000000000000001..., és a dir, al suma de les potències factorials negatives de 10 (10−1 + 10−2 + 10−6 + ...+ 10 -k! + ...) té un desenvolupament decimal previsible i no periòdic. Aquest nombre és la constant de Liouville, que és irracional i transcendent. Si hom escull a l'atzar, segons la distribució uniforme contínua, un nombre real entre 0 i 1, els dígits del seu desenvolupament decimal formen una seqüència de variables aleatòries independents sobre . Aquest fet és la clau per la demostració del teorema del nombre normal de Borel. Arran d'aquesta demostració, Borel descobrí l'anomenat lema de Borel-Cantelli i demostrà la primera versió conegura de la llei forta dels grans nombres.
Notes
Referències
Bibliografia
Vegeu també Nombre decimal Sèrie (matemàtiques) IEEE 754 Simon Stevin
Enllaços externs Plouffe's inverter intenta verificar un nombre a partir de la seva representació decimal. Per exemple, si s'hi introdueix 3,14159265 informarà que probablement prové del nombre π.
Categoria:Notació matemàtica