La geometria no euclidiana es diferencia de la geometria euclidiana perquè, en aquesta mena de geometria, el cinquè postulat d'Euclides no és vàlid.
miniatura|Triangle esfèric No fou desenvolupada amb la intenció de precisar la nostra experiència espacial, sinó com una teoria axiomàtica en conflicte amb el cinquè postulat d'Euclides. Segons el model de la geometria no euclidiana, es demostra que el cinquè postulat d'Euclides no es pot deduir dels altres axiomes i que n'és independent.
La geometria no euclidiana s'obté a mesura que s'omet o es modifica el cinquè postulat d'Euclides. Les possibilitats fonamentals de modificació són: Entre una recta i un punt situat fora de la recta no hi ha cap paral·lela. Per tant, dues rectes diferents en un mateix nivell es toquen sempre. Aquesta hipòtesi no és compatible amb la resta d'axiomes de la geometria euclidiana. S'arriba, per tant, a la conclusió que entre dos punts només hi pot haver una recta d'unió. Aquest fet condueix a la geometria el·líptica. Un model il·lustratiu de la geometria el·líptica bidimensional és la geometria d'una superfície esfèrica, en què la suma d'angles d'un triangle és superior a 180°.
Entre una recta i un punt situat fora de la recta hi ha, com a mínim, dues paral·leles. Amb la qual cosa la resta d'axiomes euclidians es mantenen. D'això, se n'obté la geometria hiperbòlica. Un exemple bidimensional d'aquesta geometria és una superfície amb forma de selló, en la qual la suma dels angles d'un triangle situat damunt d'aquesta superfície és menor a 180°.
Actualment, la geometria no euclidiana té un paper molt important en la física teòrica i en la cosmologia. Segons la teoria de la relativitat, difereix de la geometria del cosmos perquè la gravitació "plega" l'espai. Un dels misteris més importants de la física actual és saber si la geometria de l'univers és, en línies generals, esfèrica (el·líptica), plana (és a dir, euclidiana) o hiperbòlica.
Història
Context La geometria euclidiana, que du el nom del matemàtic grec Euclides, inclou part de les matemàtiques més antigues que es coneixen, i les geometries que se'n distanciaven no van ser àmpliament acceptades com a legítimes fins al segle XIX.
El debat que va acabar portant al descobriment de les geometries no euclidianes va començar gairebé tan bon punt Euclides va escriure els seus Elements. En els Elements, Euclides va començar amb un nombre limitat de suposicions (23 definicions, cinc nocions comunes i cinc postulats) i va intentar demostrar tots els altres resultats (proposicions) en la seva obra. El més notori de tots els postulats rep sovint el nom de "cinquè postulat d'Euclides", o simplement postulat de les paral·leles, que en la formualció original d'Euclides deia el següent:
Si dues rectes intersequen amb una tercera, de manera que la suma dels angles interiors a un costat és menor de dos angles rectes, llavors les dues rectes inevitablement es tallen en el mateix costat si s'allarguen suficientment.
Altres matemàtics han formulat aquesta propietat en termes més simples. Més enllà de la forma del postulat, tanmateix, sembla consistentment més complicat que els altres axiomes d'Euclides:
Dos punts diferents es poden unir per un segment rectilini. Un segment rectilini pot ser allargat indefinidament mitjançant una recta. Donats un segment rectilini i un punt qualssevol, existeix una circumferència de centre en aquest punt i radi en el segment donat. Tots els angles rectes són iguals.
Durant almenys mil anys, els geòmetres van tenir problemes per l'absurda complexitat del cinquè postulat, i van creure que es podia demostrar com a teorema partint dels altres quatre axiomes. Molts van intentar derivar una demostració per contradicció, inclosos Ibn al-Hàytham (Alhazen, segle XI), Omar Khayyam (segle XII), Nassir-ad-Din at-Tussí (segle XIII), i Giovanni Girolamo Saccheri (al ).
Els teoremes d'Ibn al-Hàytham, Khayyam i at-Tussí sobre els quadrilàters, inclosos el quadrilàter de Lambert i el quadrilàter de Saccheri, van ser "els primers teoremes de les geometries hiperbòlica i el·líptica". Aquestes teoremes, juntament amb els seus postulats alternatius, com l'axioma de Playfair, van tenir un paper important en el desenvolupament posterior de la geometria no euclidiana. Aquests primers intents a enfrontar-se contra el cinquè postulat van tenir una influència considerable en el seu desenvolupament posterior entre geòmetres europeus, inclosos Witelo, Guersònides, Alfonso, John Wallis i el mateix Saccheri.Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch, "Geometry", p. 470, in Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science, vol. 2, p. 447–494, Routledge, London and New York: Tots aquests primers intents que es van fer per intentar formular la goemetria no euclidiana, tanmateix, van proporcionar demostracions defectuoses del postulat de les paral·leles, ja que depenien en suposicions que avui en dia se sap que són equivalents al postulat de les paral·leles. Aquests primers passos, no obstant això, van donar lloc a algunes propietats noves de les geometries hiperbòlica i el·líptica.
Khayyam, per exemple, va intentar derivar-la a partir d'un postulat equivalent que va formular dels "principis del Filòsof" (Aristòtil): "Dues línies rectes convergents es creuen i és impossible que dues línies rectes convergents divergeixin en la direcció en què convergeixen."Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", p. 467, in Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science, vol. 2, p. 447–494, Routledge, Khayyam va considerar llavors els tres casos, angle recte, obtús i agut que els angles de dalt d'un quadrilàter de Saccheri podien tenir i després de demostrar un seguit de teoremes sobre ells, va refusar correctament els casos d'angle obtús i agut basant-se en el seu postulat i, per tant, va derivar el postulat clàssic d'Euclides, sense adonar-se que era equivalent al seu propi resultat. Un altre exemple n'és el fill d'at-Tussí, Sadr al-Din (de vegades anomenat "Pseudo-Tussí"), que va escriure un llibre sobre el tema l'any 1298, basant-se en les idees prèvies d'at-Tussí, que va presentar una altra hipòtesi equivalent al postulat de les paral·leles. "Essencialment va revisar tant el sistema euclidià d'axiomes i postulats i les demostracions de moltes proposicions dels Elements."Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, vol. 2, p. 447–494 , Routledge, London and New York: La seva obra va ser publicada a Roma l'any 1594 i va ser estudiada pels geòmetres europeus, inclòs SaccheriVictor J. Katz (1998), History of Mathematics: An Introduction, p. 270–271, Addison–Wesley, : "Però en un manuscrit, probablement escrit pele seu fill Sadr al-Din l'any 1298, basant-se en les idees posteriors sobre el tema de Nasir al-Din, hi ha un argument nou basat en una altra hipòtesi, també equivalent al postulat d'Euclides, […] La importància d'aquesta obra posterior rau en què es va publicar a Roma l'any 1594 i va ser estudiada pels geòmetres europeus. En particular, es va convertir en el punt de partida per l'obra de Saccheri i en última instància va servir per al descobriment de la geometria no euclidiana." que va criticar la seva obra així com la de Wallis.MacTutor's Giovanni Girolamo Saccheri
Vitale Giordano, en el seu llibre Euclide restituo (1680, 1686), va utilitzar el quadrilàter de Saccheri per demostrar que si tres punts són equidistants en la base AB i en el cim CD, llavors AB i CD són equidistants pertot.
En una obra titulada Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Alliberat de Tots els Defectes), publiciada l'any 1733, Saccheri va descartar ràpidament la geometria el·líptica com a possibilitat (alguns altres axiomes d'Euclides haurien de ser modificats per tal que la geometria el·líptica funcionés) i va centrar el seu estudi en demostrar un gran nombre de resultats en la geometria hiperbòlica.
Finalment va arribar al punt en què va creure que els seus resultats demostraven la impossibilitat de la geometria hiperbòlica. La seva afirmació sembla està basada en les assumpcions prèvies d'Euclides, perquè no hi ha cap contradicció lògica present. En el seu intent de demostrar la validaesa de la geometria euclidiana va descobrir -sense voler-ho- una nova geometria viable, però no se'n va adonar.
L'any 1766, Johann Lambert va escriure, però no va publicar, Theorie der Parallellinien, en què va intentar, igual que Saccheri, demostrar el cinquè postulat. Va treballar amb una figura avui coneguda com el quadrilàter de Lambert, un quadrilàter amb tres angles rectes (es pot considerar la meitat d'un quadrilàter de Saccheri). Ràpidament va eliminar la possibilitat que el quart angle fos obtús, com ja ho havien fet Saccheri i Khayyam, i després va procedir a demostrar molts teoremes assumint que el quart angle era agut. A diferència de Saccheri, mai no va pensar que hagués arribat a cap contradicció amb aquesta suposició. Havia demostrat el resultat no euclidià que la suma dels angles d'un triangle augment a mesura que l'àrea del triangle disminueix, i això el va portar a especular amb la possibilitat d'un model del cas agut en una esfera de radi imaginari. No va desenvolupar aquesta idea més enllà d'aquí.
En aquella època estava àmpliament estesa la creença que l'univers funcionava segons els principis de la geometria euclidiana.Una excepeció notable era David Hume, que ja l'any 1739 es va aventurar a creure en la possibilitat que l'univers fos no euclidià; see David Hume (1739/1978) A Treatise of Human Nature, L.A. Selby-Bigge, ed. (Oxford: Oxford University Press), p. 51–52.
Descobriment de la geometria no euclidiana Els inicis del segle XIX van ser finalment testimoni de passos decisius en la creació de la geometria no euclidiana. Al voltant de l'any 1813, Carl Friedrich Gauss i independentment al voltant del 1818, el professor de dret alemany Ferdinand Karl SchweikartEn una carta de desembre de 1818, Ferdinand Karl Schweikart (1780–1859) va esbossar algunes idees sobre la geometria no euclidiana. La carta va ser enviada a Gauss l'any 1819 per Gerling, un antic alumne de Gauss. En la seva resposta a Gerling, Gauss va lloar Schweikart i va mencionar la seva pròpia recerca prèvia sobre la geometria no euclidiana. Vegi's: Carl Friedrich Gauss, Werke (Leipzig, Germany: B. G. Teubner, 1900), vol. 8, p. 180–182. Una traducció a l'anglès de la carta de Schweikart i de la resposta de Gauss a Gerling apareix a:Course notes: "Gauss and non-Euclidean geometry", University of Waterloo, Ontario, Canada ; see especially pages 10 and 11. Les cartes de Schweikart i els escrits del seu nebot Franz Adolph Taurinus, que també estava interessat en la geometria no euclidiana i que l'any 1825 va publicar un llibret sobre l'axioma de les paral·leles, apareixen a: Paul Stäckel and Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometrie (The theory of parallel lines from Euclid to Gauss, an archive of non-Euclidean geometry), (Leipzig, Germany: B. G. Teubner, 1895), pages 243 ff. van tenir les idees germinals que la geometria no euclidiana podia funcionar, però cap d'ells va publicar els seus resultats. El nebobt de Schweikart, Franz Taurinus va publicar resultats importants sobre trigonometria hiperbòlica en dos articles de 1825 i 1826, i malgrat que admetia la consistència interna de la goemetria hiperbòlica, creia encara en el paper primordial de la geometria euclidiana.