miniatura|Sophus Lie, creador de la geometria de l'esfera de Lie i de la correspondència recta-esfera. La geometria de l'esfera de LieGeometria de l'esfera desenvolupada per Lie. és una teoria geomètrica del pla o l'espai en què el concepte fonamental és la circumferència o l'esfera. Fou introduïda per Sophus Lie al .Un llibre de text modern cabdal en la geometria de l'esfera de Lie és . S'hi pot trobar gairebé tot el material d'aquest article. La idea principal que condueix a la geometria de l'esfera de Lie és tractar les rectes (o plans) com a circumferències (o esferes) de radi infinit i tractar els punts del pla (o de l'espai) com a circumferències (o esferes) de radi zero.

L'espai de circumferències en el pla (o esferes a l'espai), incloent-hi punts i rectes (o plans), resulta ser una varietat coneguda com a quàdrica de Lie (una hipersuperfície quàdrica a l'espai projectiu). La geometria de l'esfera de Lie és la geometria de la quàdrica de Lie i les transformacions de Lie que la preserven. Aquesta geometria pot ser difícil de visualitzar perquè les transformacions de Lie no preserven els punts en general: els punts es poden transformar en circumferències (o esferes).

Per treballar-hi, les corbes del pla i les superfícies de l'espai s'estudien a través dels seus aixecaments de contacte, que estan determinats pels seus espais tangents. Això converteix en naturals els conceptes de circumferència osculadora d'una corba i les esferes de curvatura d'una superfície. També permet tractar de manera natural les cíclides de Dupin i obtenir una solució conceptual del problema d'Apol·loni.

La geometria de l'esfera de Lie es pot definir en qualsevol dimensió, però els casos del pla i l'espai tridimensional són els més rellevants. En el cas del pla, Lie observà una semblança notable entre la quàdrica de Lie d'esferes en 3 dimensions i l'espai de rectes d'un espai projectiu de dimensió 3, que és també una hipersuperfície quàdrica d'un espai projectiu de dimensió 5, anomenada la quàdrica de Klein o de Plücker. Aquesta semblança menà Lie a obtenir la seva famosa «correspondència recta-esfera» entre l'espai de rectes i l'espai d'esferes a l'espai tridimensional.Lie estava particularment satisfet amb aquest resultat: vegeu

Conceptes bàsics L'observació clau que duu a la geometria de l'esfera de Lie és que els teoremes de la geometria euclidiana en el pla (resp. a l'espai) que depenen només en els conceptes de circumferències (resp. esferes) i el seu contacte tangencial tenen una formulació més natural en un context més general en què circumferències, rectes i punts (resp. esferes, plans i punts) són tractats en peu d'igualtat. Això s'aconsegueix en tres passos. Primer s'afegeix un punt a l'infinit a l'espai euclidià de manera que les rectes (o plans) es puguin considerar circumferències (o esferes) que passen pel punt a l'infinit (és a dir, que tenen radi infinit). Aquesta extensió és anomenada geometria inversiva amb automorfismes anomenats «transformacions de Möbius». En segon lloc, els punts són considerats circumferències o esferes de radi zero. Finalment, per motius tècnics, a les circumferències (o esferes), incloses les rectes (o plans), se'ls dona orientacions.

Aquests objectes, és a dir, els punts, circumferències orientades i rectes orientades al pla, o els punts, esferes orientades i plans orientats a l'espai, de vegades reben el nom de cicles o cicles de Lie. Resulta que formen una hipersuperfície quàdrica en un espai projectiu de dimensió 4 o 5, que és anomenada quàdrica de Lie. Les simetries naturals d'aquesta quàdrica formen un grup de transformacions anomenades transformacions de Lie. Aquestes transformacions en general no preserven els punts: són transformacions de la quàdrica de Lie, no del pla o l'espai més el punt a l'infinit. Les transformacions que preserven els punts són precisament les transformacions de Möbius. Les transformacions de Lie que deixen fix el punt a l'infinit són les transformacions de Laguerre en la geometria de Laguerre. Aquests dos subgrups generen el grup de transformacions de Lie, i la seva intersecció són les transformacions de Möbius que deixen fix el punt a l'infinit, anomenades transformacions conformes afins.

Geometria de l'esfera de Lie al pla La quàdrica de Lie Definim la quàdrica de Lie al pla a continuació. Sigui R3,2 l'espai R⁵ de 5-tuples de nombres reals, equipat amb la forma bilineal simètrica de signatura (3,2) definida per

miniatura|Un hiperboloide reglat és un anàleg 2-dimensional de la quàdrica de Lie. L'espai projectiu RP4 és l'espai de rectes per l'origen a R⁵ i és l'espai de vectors no nuls x a R⁵ llevat d'escalat, on x= (x0,x1,x₂,x₃,x₄). La quàdrica de Lie Q corresponent al pla està formada pels punts [x] de l'espai projectiu representats per vectors x tals que x · x = 0.

Per relacionar això amb la geometria del pla cal fixar una recta orientada. Les coordenades escollides suggereixen utilitzar el punt [1,0,0,0,0] ∈ RP4. Llavors, qualsevol punt de la quàdrica de Lie Q pot ser representat per un vector x = λ(1,0,0,0,0) + v, on v és ortogonal a (1,0,0,0,0). Com que [x] ∈ Q, v · v = λ² ≥ 0.

L'espai ortogonal a (1,0,0,0,0) intersecat amb la quàdrica de Lie és l'esfera celeste bidimensional S a l'espaitemps de Minkowski. Això és el pla euclidià amb un punt a l'infinit, que podem escollir que sigui [0,0,0,0,1]: els punts finits (x,y) del pla queden representats, llavors, pels punts [v] = [0,x,y, −1, (x²+y²)/2]; noteu que v · v = 0, v · (1,0,0,0,0) = 0 i v · (0,0,0,0,1) = −1.

Per tant, els punts x = λ(1,0,0,0,0) + v de la quàdrica de Lie amb λ = 0 corresponen a punts a l'espai euclidià estès amb un punt a l'infinit. D'altra banda, els punts x amb λ no nul·la corresponen a circumferències orientades (o rectes orientades, que són circumferències per l'infinit) al pla euclidià. Això és més fàcil de veure en termes de l'esfera celeste S: la circumferència corresponent a [λ(1,0,0,0,0) + v] ∈ Q (amb λ ≠ 0) és el conjunt de punts y ∈ S tals que y · v = 0. La circumferència està orientada perquè v/λ té signe definit; [−λ(1,0,0,0,0) + v] representa la mateixa circumferència amb l'orientació contrària. Així, la reflexió isomètrica x → x + 2 (x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0) indueix una involució ρ de la quàdrica de Lie que inverteix l'orientació de circumferències i rectes, i fixa els punts del pla (inclòs l'infinit).

En resum, hi ha una correspondència bijectiva entre els punts a la quàdrica de Lie i cicles al pla, on un cicle és o bé una circumferència (o recta) orientada o bé un punt del pla (o el punt a l'infinit). Els punts es poden pensar com a circumferències de radi zero, però no estan orientats.

Incidència de cicles Suposem que tenim dos cicles representats pels punts [x], [y] ∈ Q. Llavors, x · y = 0 si i només si els cicles corresponents «es besen», és a dir, coincideixen amb contacte de primer ordre orientat. Si [x] ∈ S ≅ R² ∪ {∞}, això vol dir que [x] està contingut al cicle corresponent a [y]; aquest cas és immediat de la definició d'aquesta circumferència (si [y] correspon a un punt aleshores x · y = 0 si i només si [x] = [y]).

Queda per tant considerar el cas en què ni [x] ni [y] estan continguts a S. Sense pèrdua de generalitat, podem prendre x= (1,0,0,0,0) + v i y = (1,0,0,0,0) + w, on v i w són vectors unitaris a (1,0,0,0,0)⊥. Així v⊥ ∩ (1,0,0,0,0)⊥ i w⊥ ∩ (1,0,0,0,0)⊥ són subespais de (1,0,0,0,0)⊥ de signatura (2,1). Per tant, o bé coincideixen, o bé s'intersequen en un subespai de dimensió 2. En aquest segon cas, l'espai de dimensió 2 pot tenir signatura (2,0), (1,0) o (1,1), de manera que les dues circumferències corresponents a S s'intersequen en zero, un o dos punts respectivament. Així doncs, tenen contacte de primer ordre si i només si el subespai de dimensió 2 és degenerat (té signatura (1,0)), cosa que es compleix si i només si l'espai generat per v i w és degenerat. Per la identitat de Lagrange, això es compleix si i només si (v · w)² = (v · v)(w · w) = 1, és a dir, si i només si v · w = ± 1, que és quan x · y = 1 ± 1. El contacte és orientat si i només si v · w = – 1, és a dir, x · y = 0.

El problema d'Apol·loni miniatura|Les vuit solucions del problema d'Apol·loni genèric. Les tres circumferències donades són C1, C2 i C3, de colors vermell, verd i blau, respectivament. Les solucions s'agrupen en quatre parelles, cadascuna amb una circumferència resolutòria rosa i una de negra, que són 1A/1B, 2A/2B, 3A/3B i 4A/4B. Cada parella està en contacte orientat amb C1, C2 i C3 per a una tria adequada d'orientacions; es poden triar les orientacions de quatre maneres diferents, llevat d'inversió de totes les orientacions. La incidència de cicles en la geometria de l'esfera de Lie permet obtenir una solució simple del problema d'Apol·loni.L'aproximació mitjançant la geometria de l'esfera de Lie és desenvolupada a ; per una classificació de les solucions mitjançant la geometria de Laguerre, vegeu Aquest problema tracta d'una configuració de tres circumferències diferents (que poden ser punts o rectes): l'objectiu és trobar totes les altres circumferències (incloent-hi punts i rectes) tangents a les tres circumferències donades. Per a qualsevol configuració de circumferències, hi ha com a molt vuit circumferències tangents que resolen el problema.

La solució, usant la geometria de l'esfera de Lie, és la que segueix. S'escull una orientació per a cadascuna de les tres circumferències donades (hi ha vuit maneres de fer-ho, però només quatre llevat d'inversió de totes tres orientacions). Això defineix tres punts [x], [y], [z] a la quàdrica de Lie Q. Per la incidència de cicles, una solució del problema d'Apol·loni compatible amb les orientacions escollides ve donada per un punt [q] ∈ Q tal que q és ortogonal a x, y i z. Si aquests tres vectors són linealment dependents, aleshores els punts corresponents [x], [y], [z] estan continguts en una recta de l'espai projectiu. Com que una equació quadràtica no trivial té com a molt dues solucions, aquesta recta rau de fet a la quàdrica de Lie, i qualsevol punt [q] en aquesta recta defineix un cicle incident amb [x], [y] i [z]. Així, en aquest cas hi ha infinites solucions.

Si en canvi x, y i z són linealment independents llavors el subespai V ortogonal a tots tres té dimensió 2. Pot tenir signatura (2,0), (1,0) or (1,1), de manera que hi ha zero, una o dues solucions per [q] respectivament. (La signatura no pot ser (0,1) ni (0,2) perquè és ortogonal a un espai que conté més d'una recta isòtropa.) En el cas en què el subespai té signatura (1,0), l'única solució q està continguda a la varietat engendrada per x, y i z.

La solució general del problema d'Apol·loni s'obté invertint les orientacions d'algunes de les circumferències o, equivalentment, considerant els triplets (x,ρ(y),z), (x,y,ρ(z)) i (x,ρ(y),ρ(z)).

Noteu que el triplet (ρ(x),ρ(y),ρ(z)) proporciona les mateixes solucions que (x,y,z), però amb una inversió de totes les orientacions. Per tant, hi ha com a molt 8 circumferències resolutòries del problema d'Apol·loni llevat que totes tres circumferències coincideixin tangencialment en un punt, cas en què hi ha infinites solucions.

Transformacions de Lie