En geometria diferencial, la forma de curvatura descriu la curvatura d'una connexió de Cartan en un fibrat principal.
Pot ser considerada com una alternativa o una generalització del tensor de curvatura en geometria riemanniana.
Definició Sigui G un grup de Lie amb àlgebra de Lie , i P → B un G-fibrat principal. Sigui ω una connexió d'Ehresmann sobre P (la qual és una forma 1-diferencial en P avaluada a ).
Llavors la forma de curvatura és la forma 2-diferencial de valor- en P definida per
Aquí representa la derivada exterior, . és una forma diferencial avaluada a l'àlgebra de Lie, i D denota la derivada covariant exterior. És a dir, degut a que
on X, Y són vectors tangents a P, llavors utilitzant la fórmula anterior obtenim que
Existeix també una altra expressió per a Ω: Si X, Y són camps vectorials horitzontals a P, llavors
on hZ representa el component horitzontal de Z i a la dreta identifiquem un camp de vector vertical i un element d'àlgebra de Lie que el genera (camp vectorial fonamental), degut a que
Una connexió és anomenada plana si la seva curvatura val zero: Ω = 0. Equivalentment, una connexió és plana si el grup d'estructura pot ser reduït al mateix grup subjacent però amb la topologia discreta.
Forma de curvatura en un fibrat de vectors Si E → B és un fibrat de vectors, aleshores es pot considerar ω com una matriu d'1-formes i la fórmula superior esdevé l'equació d'estructura d'E. Cartan:
On és el producte "wedge". Més concretament, si i denoten components de ω i Ω respectivament, ( és una 1-forma i és un 2-forma) llavors
Per exemple, per al fibrat tangent d'una varietat riemanniana, el grup d'estructura és O(n) i Ω és un 2-forma amb valors en l'àlgebra de Lie de O(n), i.e. les matrius antisimètriques. En aquest cas la forma Ω és una descripció alternativa del tensor de curvatura, i.e.
Utilitzant la notació estàndard per al tensor de curvatura de Riemannian.
Identitats de Bianchi Si és l'1-forma de valors vectorials canònica en el marc del fibrat, la torsió de la forma de connexió és la 2-forma de valors vectorials definida per l'equació d'estructura
on, com a dalt, D denota la derivava covariant exterior.
La primera identitat de Bianchi pren la forma
La segona identitat de Bianchi pren la forma
que és vàlida de manera general per a qualsevol connexió d'un fibrat principal.
Bibliografia
Shoshichi Kobayashi i Katsumi Nomizu (1963) Fundacions de Geometria Diferencial, Vol.I, Capítol 2.5 "Curvature form and structure equation", p 75, Wiley Interscience.
Vegeu també Teoria de gauge
Categoria:Geometria diferencial