En matemàtiques, la funció G-Barnes, normalment escrit G(z), és una funció especial que constitueix una extensió a un domini complex de la seqüència de nombres enters superfactorials. Fins als factors elementals, és un cas especial de la funció gamma doble.
Es relaciona amb la funció Gamma, la funció K i la constant de Glaisher-Kinkelin. Posteriorment va ser nomenada en honor del matemàtic Ernest William Barnes (1874-1953).E. W. Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314.
Formalment, la funció G-Barnes es defineix en la següent forma del producte de Weierstrass:
on és la constant d'Euler-Mascheroni, exp (x)= ex, i ∏ és el producte.
Equacions funcionals i arguments enters La funció G-Barnes satisfà l'equació funcional
amb normalització G (1) = 1.
L'equació funcional implica que G té els següents valors en arguments enters:
(en particular, ) i per tant
on denota la funció gamma, i K denota la funció K.
L'equació funcional defineix de forma exclusiva la funció G-Barnes si és afegida la condició de convexitat: .M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL, Astérisque 61, 235–249 (1979).
Fórmula de reflexió 1.0 L'equació de diferència per a la funció G-Barnes, en conjunció amb l'equació funcional per a la funció gamma, pot ser utilitzada per a obtenir la següent fórmula de reflexió per a la funció de G-Barnes (originalment proporcionada per Hermann Kinkelin):
La integral logaritme-tangent del costat dret pot ser avaluada per parts en termes de la funció de Clausen (d'ordre 2), com es mostra a continuació:
La prova d'aquest resultat depèn de la següent avaluació de la integral cotangent: la introducció de la notació per a la integral logaritme-tangent, i utilitzant , s'obté la següent integració per parts:
Substituint en la integral dona
La funció Clausen (d'ordre 2) té la representació integral
No obstant això, dins de l'interval , el signe de valor absolut de l'integrant es pot ometre, ja que el valor de la integral de la funció «mig-sinus» és estrictament positiva i diferent de zero. Comparant aquesta definició amb el resultat anterior per l'integral logaritme-tangent, es manté clarament la següent relació:
Per tant, després d'una lleugera reordenació dels termes, la verificació està completa:
Usant la relació i dividint la fórmula de reflexió per un factor de dona la forma equivalent:
Fórmula de reflexió 2.0 Reemplaçant z per (1/2) − z'' en la fórmula de reflexió anterior dona, després d'una certa simplificació, la fórmula equivalent que es mostra a continuació (que implica als polinomis de Bernoulli):
Ampliació de la sèrie de Taylor Pel teorema de Taylor, i tenint en compte les derivades logarítmiques de la funció G-Barnes, es pot obtenir la següent ampliació de la sèrie:
Això és vàlid per a . Aquí, és la funció zeta de Riemann:
Exponenciant banda i banda de l'ampliació de Taylor dona:
Comparant això amb la forma del producte de Weierstrass de la funció G-Barnes, dona la següent relació:
Per a té la següent ampliació de Taylor:
Fórmula de multiplicació Igual que la funció gamma, la funció G-Barnes també té una fórmula de multiplicació:I. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions, SIAM J. Math. Anal. 19, 493–507 (1988).
on és una constant donada per:
Aquí, és la derivada de la funció zeta de Riemann, i és la constant de Glaisher-Kinkelin.
Expansió asimptòtica El logaritme de G(z + 1) té la següent expansió asimptòtica, establert per Barnes:
Aquí, són els nombres de Bernoulli i és la constant de Glaisher-Kinkelin.
Aquesta expansió és vàlida per a en qualsevol sector que no conté l'eix real negatiu amb gran.
Relació amb la integral del logaritme de gamma La integral logaritme-gamma pot ser avaluada en termes de la funció G-Barnes.
La prova és una mica indirecta, i consisteix en considerar primer la diferència logarítmica de la funció gamma i de la funció G-Barnes:
on
i és la constant d'Euler-Mascheroni.
Prenent el logaritme de les formes del producte de Weierstrass de la funció G-Barnes i de la funció gamma dona:
Una petita simplificació i una reordenació dels termes dona l'expansió de la sèrie:
Finalment, prenent el logaritme de la forma del producte de Weierstrass de la funció gamma, i integrant en l'interval s'obté:
Igualant les dues avaluacions es completa la demostració:
Relació amb la funció K La funció G-Barnes està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció K.
Per als nombres naturals n, tenim
Per a tot tenim Eric Weisstein: Hyperfactorial
Valors particulars Per a tenims els següents valors particulars:
on és la constant de Catalan, i és la constant de Glaisher-Kinkelin per la qual
Notes
Referències
Enllaços externs Funció G-barnes en MathWorld Funció G-Barnes (Funció doble gamma) en Digital Library of Mathematical Functions
G-Barnes