En matemàtiques, un nombre poligonal és un nombre representat com a punts o còdols arranjats en forma d'un polígon regular. Els punts en consideren alfes (unitats). Són un tipus de nombres figurats bidimensionals.
Definició i exemples El nombre 10, per exemple, pot ser arranjat com a triangle (vegeu Nombre triangular):
| align=center |16x16px 16x16px16x16px 16x16px16x16px16x16px 16x16px16x16px16x16px16x16px |} Però 10 no pot ser arranjat com a quadrat. El nombre 9, d'altra banda, sí que pot ser-ho (vegeu quadrat perfecte):
| align=center |16x16px16x16px16x16px 16x16px16x16px16x16px 16x16px16x16px16x16px |} Alguns nombres, com el 36, poden ser arranjats alhora com a quadrat i com a triangle (veu nombre triangular quadrat): {| |- align=center valign="bottom" |16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|* | |16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|* |} Per convenció, 1 és el primer nombre poligonal per qualsevol nombre de costats. La regla per ampliar el polígon a la mida següent és estendre dues branques adjacents en un punt assenyalen i llavors afegir els costats extres que calguin entre aquells punts. En els esquemes següents, cada capa extra és mostrada en vermell.
Nombres triangulars none|500x500px
Nombres quadrats none|599x599px Polígons amb nombres més alts de costats, com pentàgons i hexàgons, també poden ser construïts segons aquesta regla, tot i que els punts ja no formaran a un enreixat perfectament regular li agrada damunt.
Nombres pentagonals none|500x500px
Nombres hexagonals none|500x500px
Fórmula Si s és el nombre de costats en un polígon, la fórmula pel nè nombre s-gonal P(s,n) és
O
El nombre s-gonal nè és també relacionat amb els nombres triangulars Tn de la manera següent:
Per tant:
Per a un nombre s-gonal donat P(s,n) = x, es pot trobar n per
Cada nombre hexagonal és també un nombre triangular Aplicant la fórmula anterior:
Al cas de 6 costats dona:
Però com que:
segueix que:
Això mostra que el nombre hexagonal , és el nombre triangular, Podem trobar cada nombre hexagonal simplement agafant els nombres triangulars imparells:
1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...
Taula de valors Els primers 6 valors en la columna de "Suma de Recíproques", per als nombres triangulars a octagonals, venen d'una solució publicada per al problema general, que també dona una fórmula general per qualsevol nombre de costats, en termes de la funció digamma. http://www.siam.org/journals/problems/downloadfiles/07-003s.pdf
s Nom Fórmula n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 n = 10 Suma de Recíproques Número OEIS 3 Triangular ½(n²+n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 oeis:A000217 4 Quadrat n² = ½(2n² - 0n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 oeis:A000290 5 Pentagonal ½(3n² - n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 oeis:A000326 6 Hexagonal ½(4n² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 oeis:A000384 7 Heptagonal ½(5n² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 oeis:A000566 8 Octagonal ½(6n² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 oeis:A000567 9 Nonagonal ½(7n² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 oeis:A001106 10 Decagonal ½(8n² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 oeis:A001107 11 Hendecagonal ½(9n² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 oeis:A051682 12 Dodecagonal ½(10n² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 oeis:A051624 13 Tridecagonal ½(11n² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 oeis:A051865 14 Tetradecagonal ½(12n² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 oeis:A051866 15 Pentadecagonal ½(13n² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 oeis:A051867 16 Hexadecagonal ½(14n² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 oeis:A051868 17 Heptadecagonal ½(15n² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 oeis:A051869 18 Octadecagonal ½(16n² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 oeis:A051870 19 Enneadecagonal ½(17n² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 oeis:A051871 20 Icosagonal ½(18n² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 oeis:A051872 21 Icosihenagonal ½(19n² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 oeis:A051873 22 Icosidigonal ½(20n² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 oeis:A051874 23 Icositrigonal ½(21n² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 oeis:A051875 24 Icositetragonal ½(22n² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 oeis:A051876 25 Icosipentagonal ½(23n² - 21n) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 oeis:A255184 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10000 Miriagonal ½(9998n² - 9996n) 1 10000 29997 59992 99985 149976 209965 279952 359937 449920 oeis:A167149
La On-Line Encyclopedia of Integer Sequences evita els termes que utilitzen prefixos grecs (p. ex., "octagonal") a favor dels termes que utilitzen nombres (i.e., "8-gonal").
Una propietat d'aquesta taula pot ser expressada per la identitat següent (vegeu Un086270):
Amb
Combinacions Alguns nombres, com el 36, que és alhora quadrat i triangular, cauen en dos conjunts poligonals. El problema de determinar, donat dos conjunts d'aquests, tots els nombres que pertanyen a tots dos conjunts es pot solucionar reduint el problema a l'equació de Pell. L'exemple més senzill d'això és la seqüència de nombres triangulars quadrats.
La taula següent resumeix el conjunt de nombres s-gonals t-gonals per a valors petits de s i t. s t Seqüencia Nombre OEIS 4 3 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ... oeis:A001110 5 3 1, 210, 40755, 7906276, … oeis:A014979 5 4 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ... oeis:A036353 6 3 Tots els nombres hexagonals també són triangulars. oeis:A000384 6 4 Nombres triangulars quadrats imparells. oeis:A046177 6 5 1, 40755, 1533776805, … oeis:A046180 7 3 1, 55, 121771, 5720653, … oeis:A046194 7 4 1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, 729252434211108535809, 53306479301521270428241, 20744638830126197732344369, 1516379800105728357531817761, 110843467413344235941816109721, 43135613687078894324987720634481, 3153102533906718276539864534846601, … oeis:A036354 7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … oeis:A048900 7 6 1, 121771, 12625478965, … oeis:A048903 8 3 1, 21, 11781, 203841, … oeis:A046183 8 4 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, … oeis:A036428 8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … oeis:A046189 8 6 1, 11781, 113123361, … oeis:A046192 8 7 1, 297045, 69010153345, … oeis:A048906 9 3 1, 325, 82621, 20985481, … oeis:A048909 9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, 4835857349623374369, 571178264921393749929, 4342594514813297471521, 512917445842648529510881, 3899645038444991506051689, 460599295188433458107021409, 3501876901929087559136945401, 413617654161767402731575714601, … oeis:A036411 9 5 1, 651, 180868051, … oeis:A048915 9 6 1, 325, 5330229625, … oeis:A048918 9 7 1, 26884, 542041975, … oeis:A048921 9 8 1, 631125, 286703855361, … oeis:A048924103 1, 10, 1540, 1777555, 13773376, 2051297326, 15894464365, 2367195337045, 18342198104230, ...104 1 i cap més. 11 4 1, 196, 29241, 1755625, 261468900, 38941102225, 2337990844401, 348201795147556, 51858411008887561, 3113535139359330841, ... 12 4 1, 64, 3025, 142129, 6677056, 313679521, 14736260449, 692290561600, 32522920134769, 1527884955772561, 71778070001175616, 3372041405099481409, 158414167969674450625, 7442093853169599697984, 349619996931001511354641, 16424697761903901433970161, 771611174812552365885242944, 36249300518428057295172448225, 1702945513191306140507219823649, 80002189819472960546544159263296, 3758399976002037839547068265551281, 176564796682276305498165664321646929, 8294787044090984320574239154851854400, 389678426275593986761491074613715509889, 18306591247908826393469506267689777110401, 860020110225439246506305303506805808678976, 40402638589347735759402879758552183230801489, 1898063993589118141445429043348445806038991025, 89168605060099204912175762157618400700601776704, ... 13 4 1, 36, 35721, 34999056, 896703025, 34291262041, 878568782400, 860801272542225, ... 14 4 1, 441, 14161, 4239481, 135978921, 40707501121, 1305669590281, 390873421529361, 12537039269904241, 3753166552817428201, ... 15 4 1, 3025, 5997601, 165148201, ...164 1, 16, 400, 4225, 101761, ...184 1, 100, 1936, 116281, 2235025, 134189056, 2579217796, 154854055225, 2976415102441, 178701445541476, 3434780449000000, ...224 1, 729, 284089, 3900625, 15175959521, 590725976569, 8110813506601, 3156387347610225, 1228333148092290241, 16865317394711073289, 6563271907899976822281, 2554149271482890096235025, 35069100108493095964960369, ...2841, 81, 3136, 30625, ...304 1, 203401, 1819801, 164024190001, 1467492382801, 132269434866199801, 1183388792474889001, 106662336814809228952801, 954287089027867949018401, 86012721732003522411131649001, 769539017165067381031862931001, 69360830830024442142566574789968401, 620557802518990379109828463337266801, 55932712702907357470917967521368968071001, 500419053066149340677758825111066761145801, ...324 1, 1089, 9025, 4190209, 34680321, 16098788161, 133241790529, 61851539930625, 511914924538369, 237633600314679361, 1966777006834629441, 912988230557458180609, 7556356748343721780225, 3507700544168154015226689, 29031520660359572245001281, 13476584577705817169042764801, 111539094820744728221573147649, 51777034439845205395308287145025, 428533173269780585467711788272449, 198927352841300701422957270168427521, 1646424340163402188622220468969607681, 764278837839242855021796436678811396929, 6325561886374617938905985574069444444225, 2936359096051018207693040486762723218579969, ...4041, 576, 123201, ...444 1, 256, 1521, 136161, 802816, 71757841, 423083761, 37816247296, 222964340481, ...504 1, 5776, 30276, 55487601, 290736601, 532791965476, 2791652838976, 5115868397039401, 26805450269137401, 49122567815580389376, 257385930692604511876, 471674891049334501775401, 2471419679704938253922401, 4529022254733142070467037476, 23730571507140886421558408976, 43487671218272739111289992095601, 227860945140147111714865589091601, ...644 1, 64, 625, 48400, 450241, ...664 1, 1223236, 5107600, 1629005505625, 6801867425521, 2169369437921667136, 9058142076710164516, 2888979651650786027844601, ...684 1, 400, 41616, 4289041, 17514225, ...964 1, 14400, 46656, 132733441, 429940225, ...12841, 148225, 408321, 9563079681, 26342913025, 616952522883841, 1699486690978561, 39802075051765530625, 109640684355448463361, 2567791069272648920349441, 7073359108807915474785025, 165658473003253597395658798081, 456330689435993174584833131521, 10687290724764111513110882779540225, 29439718091200304556358009172652801, 689479873651773417153581894243599769601, 1899273972479365758712887429179690164225, ...1324 1, 784, 262144, 10597261249, 28731945025, ...14041, 1002001, 2637376, 1023640086001, ...1564 1, 18496, 288456256, ...
En alguns casos, com s=10 i t=4, no hi ha cap nombre en ambdós conjunts a part de la unitat.
El problema de trobar nombres que pertanyen a tres conjunts poligonals és més difícil. Una cerca informàtica de nombres triangulars quadrats pentagonals ha donat només el valor trivial d'1, però encara no s'ha editat cap demostració que no n'hi ha més.
El nombre 1225 és hecatonicositetragonal (s=124), hexacontagonal (s=60), icosienneagonal (s=29), hexagonal, quadrat, i triangular.