En matemàtiques, el sistema de nombres surreals és una classe pròpia totalment ordenada que conté els nombres reals, així com nombres infinits i infinitesimals, més grans o més petits respectivament en valor absolut que qualsevol nombre real positiu. Els surreals comparteixen moltes propietats amb els reals, incloses les operacions aritmètiques habituals (suma, resta, multiplicació i divisió); com a tal, formen un cos ordenat.En la formulació original utilitzant la teoria de conjunts de von Neumann-Bernays-Gödel, els surreals formen una classe pròpia, en lloc d'un conjunt, de manera que el terme cos no és precisament correcte; on aquesta distinció és important, alguns autors utilitzen «cos» per referir-se a una classe adequada que té les propietats aritmètiques d'un camp. Es pot obtenir un cos veritable limitant la construcció a un univers de Grothendieck, donant un conjunt amb la cardinalitat d'algun cardinal fortament inaccessible, o utilitzant una forma de teoria de conjunts en la qual es construeixen per recursivitat transfinita aturant-se en algun ordinal comptable com ara ε0.
Si es formulen a la teoria de conjunts de von Neumann-Bernays-Gödel, els nombres surreals són un camp ordenat universal en el sentit que tots els altres camps ordenats, com ara els racionals, els reals, les funcions racionals, el camp de Levi-Civita, els nombres superreals (inclosos els nombres hiperreals) es poden realitzar com a subcamps dels surreals.
Els nombres surreals també contenen tots els nombres ordinals transfinits; l'aritmètica sobre ells ve donada per les operacions naturals. També s'ha demostrat (a la teoria de conjunts de von Neumann-Bernays-Gödel) que el camp hiperreal de classe màxima és isomorf al camp surreal de classe màxima.
Història del concepte La investigació sobre el final del joc del Go de John Horton Conway va conduir a la definició i construcció originals dels nombres surreals. La construcció de Conway es va introduir al llibre de 1974 de Donald Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics i Found Total Happiness. En el seu llibre, que pren la forma d'un diàleg, Knuth va encunyar el terme «nombres surreals» per al que Conway havia anomenat simplement «nombres». Conway va adoptar més tard el terme de Knuth i va utilitzar els surreals per analitzar els jocs al seu llibre de 1976 On Numbers and Games.
Una ruta separada per definir els surreals va començar el 1907, quan Hans Hahn va introduir les sèries de Hahn com a generalització de les sèries de potències formal, i Felix Hausdorff va introduir certs conjunts ordenats anomenats conjunts ηα per als ordinals α i va preguntar si era possible trobar un grup ordenat compatible o una estructura de camp. El 1962 Norman Alling va utilitzar una forma modificada de sèries de Hahn per construir aquests camps ordenats associats a determinats ordinals α, i el 1987 va demostrar que si es pren α la classe de tots els ordinals en la construcció, s'obté una classe que és un camp ordenat isomòrfic als nombres surreals.
Si els surreals es consideren «només» un camp tancat real de mida de classe adequada, l'article d'Alling de 1962 tracta el cas dels cardinals fortament inaccessibles que naturalment es poden considerar classes adequades que tallen la jerarquia acumulada de l'univers una etapa per sobre del cardinal. Alling, per tant, mereix molt de crèdit pel descobriment o invenció dels nombres surreals en aquest sentit. Tanmateix, hi ha una important estructura de camp addicional sobre els nombres surreals que no és visible a través d'aquesta lent, és a dir, la noció d'«aniversari» i la corresponent descripció natural dels surreals com a resultat d'un procés d'ompliment de talls al llarg dels seus aniversaris donat per Conway. Aquesta estructura addicional s'ha convertit en fonamental per a una comprensió moderna dels nombres surreals i, per tant, se li dona crèdit a Conway per haver descobert els surreals tal com els coneixem avui: el mateix Alling li dona tot el crèdit a Conway en un article de 1985 que precedeix el seu llibre sobre el tema.
Descripció En la construcció de Conway, els nombres surreals es construeixen per etapes, juntament amb un ordre ≤ tal que per a dos nombres surreals qualsevol a i b, a ≤ b o b ≤ a (tots dos es poden mantenir, en aquest cas a i b són equivalents i denoten el mateix nombre). Cada nombre es forma a partir d'un parell ordenat de subconjunts de nombres ja construïts: donats subconjunts L i R de nombres de manera que tots els membres de L siguin estrictament menors que tots els membres de R, llavors el parell {L | R} representa un nombre de valor intermedi entre tots els membres de L i tots els membres de R.
Diferents subconjunts poden acabar definint el mateix nombre: {L | R } i {L′ | R′} pot definir el mateix nombre encara que L ≠ L′ i R ≠ R′; Un fenomen similar es produeix quan els nombres racionals es defineixen com a quocients de nombres enters: i són representacions diferents del mateix nombre racional. En sentit estricte, els nombres surreals són classes d'equivalència de representacions de forma {L | R} que designen el mateix nombre.
En la primera etapa de construcció, no hi ha números existents prèviament, per la qual cosa l'única representació ha d'utilitzar el conjunt buit: { | }. Aquesta representació, on en els llocs de L i R estan buits, s'anomena 0.
{ | } = 0
Les etapes posteriors donen formes com ara
{ 0 | } = 1
{ 1 | } = 2
{ 2 | } = 3
i
{ | 0 } = −1
{ | −1 } = −2
{ | −2 } = −3
Així, els nombres enters estan continguts dins dels nombres surreals; les identitats anteriors són definicions, en el sentit que el costat dret és un nom per al costat esquerre. Que els noms són realment adequats serà evident quan es defineixin les operacions aritmètiques sobre nombres surreals, com a la secció següent.
De la mateixa manera, representacions com
{ 0 | 1 } =
{ 0 | } =
{ | 1 } =
sorgeixen, de manera que els racionals diàdics (nombres racionals els denominadors dels quals són potències de 2) estan continguts dins dels nombres surreals.
Després d'un nombre infinit d'etapes, es fan disponibles infinits subconjunts, de manera que qualsevol nombre real a es pot representar per { La | Ra }, on La és el conjunt de tots els racionals diàdics menors que a i Ra és el conjunt de tots els racionals diàdics majors que a (que recorda un tall de Dedekind). Així, els nombres reals també estan inclosos dins dels surreals.
També hi ha representacions com
{ 0, 1, 2, 3, ... | } = ω
{ 0 | 1, , , , ... } = ε
on ω és un nombre transfinit més gran que tots els nombres enters i ε és un infinitesimal major que 0 però menor que qualsevol nombre real positiu. A més, les operacions aritmètiques estàndard (suma, resta, multiplicació i divisió) es poden estendre a aquests nombres no reals d'una manera que converteix la col·lecció de nombres surreals en un camp ordenat, de manera que es pot parlar de 2ω o ω − 1 i així successivament.
Construcció Els nombres surreals es construeixen de manera inductiva com a classes d'equivalència de parells de conjunts de nombres surreals, restringides per la condició que cada element del primer conjunt sigui més petit que cada element del segon conjunt. La construcció consta de tres parts interdependents: la regla de construcció, la regla de comparació, i la regla d'equivalència.
Forma, conjunt esquerre i conjunt dret Una «forma» és un parell de conjunts de nombres surreals, anomenats «conjunt esquerre» i «conjunt dret». Una forma amb el conjunt esquerre L i el conjunt dret R s'escriu { L | R }. Quan L i R es donen com a llistes d'elements, s'ometen les claus que els envolten.
Un dels dos conjunts (esquerre o dret) d'una formulari pot ser el conjunt buit. La forma { { } | { } } (amb els conjunts esquerra dreta buits) també s'escriu { | }.
Formes numèriques i les seves classes equivalents Regla de construcció: Una forma { L | R } és numèrica si la intersecció de L i R és el conjunt buit i cada element de R és més gran que cada element de L, segons la relació d'ordre ≤ donada per la regla de comparació següent. Regla de comparació: Les formes numèriques es col·loquen en classes d'equivalència; cada classe d'equivalència és un «nombre surreal». Els elements del conjunt esquerre i dret d'una forma s'extreuen de l'univers dels nombres surreals (no de «formes», sinó de les seves «classes d'equivalència»). Regla d'equivalència: Dues formes numèriques x i y són formes del mateix nombre (es troben a la mateixa classe d'equivalència) si i només si x ≤ y i y ≤ x.
Una relació d'ordenació ha de ser antisimètrica, és a dir, ha de tenir la propietat que x = y (és a dir, x ≤ y i y ≤ x són certes) només quan x i y són el mateix objecte. Aquest no és el cas de les formes dels nombres surreals, però és cert per construcció de nombres surreals (classes d'equivalència).
La classe d'equivalència que conté { | } està etiquetat com 0; en altres paraules, { | } és una forma del nombre surreal 0.
Ordre La definició recursiva dels nombres surreals es completa definint la comparació:
Els nombres surreals es poden comparar entre si (o amb formes numèriques) escollint una forma numèrica de la seva classe d'equivalència per representar cada nombre surreal.
Inducció Aquest grup de definicions és recursiu, i requereix alguna forma d'inducció matemàtica per definir l'univers dels objectes (formes i nombres) que hi apareixen. Els únics nombres surreals als quals es pot arribar mitjançant la inducció finita són les fraccions diàdiques; es pot arribar a un univers més ampli donada alguna forma d'inducció transfinita.
Regla d'inducció Hi ha una generació S0 = { 0 }, en la qual 0 consta de la forma única { | }. Donat qualsevol nombre ordinal n, la generació Sn és el conjunt de tots els nombres surreals que es generen per la regla de construcció a partir de subconjunts de
El cas base és en realitat un cas especial de la regla d'inducció, amb 0 considerat com a etiqueta per al «mínim ordinal». Com que no existeix Si amb i < 0, l'expressió és el conjunt buit; l'únic subconjunt del conjunt buit és el conjunt buit i, per tant, S0 consta d'una única forma surreal, { | }, que es troba en una única classe d'equivalència 0.
Per a cada nombre ordinal finit n, Sn està ben ordenat per l'ordenació induïda per la regla de comparació dels nombres surreals.
La primera iteració de la regla d'inducció produeix les tres formes numèriques { | 0 } < { | } < { 0 | } (la forma { 0 | 0 } no és numèrica perquè 0≤0). La classe d'equivalència que conté { 0 | } s'etiqueta 1 i la classe d'equivalència conté { | 0 } s'etiqueta −1. Aquestes tres etiquetes tenen un significat especial en els axiomes que defineixen un anell; són la identitat additiva (0), la identitat multiplicativa (1) i la inversa additiva d'1 (−1). Les operacions aritmètiques definides a continuació són coherents amb aquestes etiquetes.
Per a cada i < n, ja que tota forma vàlida en Si també és una forma vàlida en Sn, tots els nombres en Si també apareixen a Sn (com a superconjunts de la seva representació en Si); l'expressió d'unió de conjunt apareix a la nostra regla de construcció, en lloc de la forma més simple Sn−1, de manera que la definició també té sentit quan n és un ordinal límit. Es diu que els nombres en Sn són un superconjunt d'algun nombre en Si si han estat «heretats» de la generació i. El valor més petit d'α per al qual apareix un nombre surreal donat a Sα s'anomena el seu «aniversari». Per exemple, l'aniversari de 0 és 0, i l'aniversari de −1 és 1.
Una segona iteració de la regla de construcció produeix l'ordenació següent de les classes d'equivalència:
{ | −1 } = { | −1, 0 } = { | −1, 1 } = { | −1, 0, 1 } < { | 0 } = { | 0, 1 } < { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1 } < { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | 1 } < { 0 | 1 } = { −1, 0 | 1 } < { 0 | } = { −1, 0 | } < { 1 | } = { 0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }