En matemàtiques, la sèrie de Mercator o sèrie de Newton–Mercator és la sèrie de Taylor del logaritme natural:
Escrita en notació de sumatori,
La sèrie convergeix al logaritme natural (desplaçat en 1) quan −1 < x ≤ 1.
La sèrie va ser descoberta independentment per Nicholas Mercator, Isaac Newton i Gregory Saint-Vincent. Va ser publicada per primera vegada per Mercator, en el seu tractat Logarithmo-technica de 1668.
Derivació La sèrie pot ser obtinguda a partir del teorema de Taylor, mitjançant el càlcul inductiu de la enésima derivada del ln x en x = 1, començant amb:
Alternativament, es pot començar amb la sèrie geomètrica finita (t ≠ −1)
que dona
Se segueix que
i per integració terme a terme,
Si −1 < x ≤ 1, el terme resta tendeix a 0 quan . Aquesta expressió pot ser integrada iterativament k vegades més per obtenir:
on
i
són polinomis en x.
Casos especials Prenent x = 1 en la sèrie de Mercator s'obté la sèrie harmònica alternada.
Sèrie complexa La sèrie de potències complexa:
és la sèrie de Taylor de la funció complexa -log(1 - z), on log denota la branca principal del logaritme complex. Aquesta sèrie precisament convergeix per a tot nombre complex |z| ≤ 1, z ≠ 1. De fet, es pot veure mitjançant el criteri de d'Alembert, que aquesta té radi de convergència igual a 1, per tant, convergeix absolutament en tot disc B(0, r) amb radi r < 1. A més, aquesta convergeix en tot disc foradat , amb δ > 0. Això és conseqüència immediata de la identitat algebraica:
Observi's que el costat dret és uniformement convergent en tot el disc tancat unitat.
Referències
Bibliografia Weisstein, Eric W. Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10. Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by Walter William Rouse Ball
Categoria:Logaritmes Categoria:Sèries