Un grup és cíclic si pot ser generat per algun element. Això vol dir que hi ha, almenys, un element g del grup, que es diu generador de manera que tots els elements del grup són de la forma n g (en notació additiva) o gn (en notació multiplicativa), per un cert nombre enter n. Naturalment, 0 = 0 g i g = 1 g (en notació additiva) o i (en notació multiplicativa).

Exemples L'exemple més obvi és el grup additiu de l'anell dels nombres enters: es tracta d'un grup cíclic infinit i i en són els únics generadors.

També són cíclics tots grups additius dels anells (també escrit ℤ/nℤ) de classes de residu mòdul n, és a dir, de classes de congruència sobre els enters. En aquest cas es tracta de grups finits.

En canvi, els grups multiplicatius de les unitats dels anells són cíclics si, i només si, el nombre és d'una d'aquestes quatre formes: 2, 4, pk o 2pk. En la teoria de nombres tradicional, els generadors dels grups multiplicatius de les unitats dels anells es diuen arrels primitives mòdul n.

No cal dir que el grup trivial és cíclic.

Estructura El fet més important quant als grups cíclics és que qualsevol grup cíclic infinit és isomorf al grup additiu de l'anell ℤ dels nombres enters. A més, qualsevol grup cíclic finit d'ordre n és isomorf al grup additiu de ℤ/nℤ de congruències mòdul n. Això implica que l'estudi dels grups cíclics es redueix a l'estudi dels grups additius de ℤ i ℤ/nℤ. D'altra banda, tot grup abelià finitament generat és isomorf al producte directe d'un nombre finit de grups cíclics.

Propietats De l'isomorfisme mencionat abans en resulta que tot grup cíclic és un grup abelià. Tot grup d'ordre un nombre primer és cíclic. Tots els subgrups d'un grup cíclic són cíclics. Si és un grup cíclic d'ordre , aleshores, per cada divisor de hi ha exactament un subgrup d'ordre , el qual, si és un generador de , és generat per . El grup no té cap altre subgrup d'ordre . Tot quocient d'un grup cíclic és cíclic. Sigui és un generador d'un cert grup cíclic d'ordre . Aleshores també n'és un generador si, i només si, hi ha que fa . Aleshores . Si és un grup cíclic d'ordre , aleshores té generadors ( és la funció Fi d'Euler). Siguin i dos grups d'ordres respectius i . Aleshores, és cíclic si, i només sí, i ho són i . Tot subgrup finit del grup multiplicatiu d'un cos és cíclic.

Referències Article cyclic group a PlanetMath.org.

Categoria:Teoria de grups