En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució de Bates, que duu el nom de Grace E. Bates, és la distribució de probabilitat de la mitjana de n variables aleatòries independents, cadascuna amb distribució uniforme en l'interval unitat [0,1].Jonhson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2, Section 26.9. 2nd Edition, Wiley Aquesta distribució està relacionada amb la distribució d'Irwin–Hall, que és la distribució de la suma de n variables aleatòries independents amb distribució uniforme a l'interval [0,1], i, a vegades, es confonen ambdues. Malgrat els noms de Bates, Irwing i Hall, aquesta mena de distribucions van ser estudiades per Joseph Luis Lagrange el 1770Lagrange, Mémiore sur l'utilité de la méthode de prendre le milieu entre les résultats de plusierurs observations. Miscellania Tourinencia, t. V, 1770-1772. Reproduït a Oeuvres de Lagrange, (M. J.-A. Serret), Vol. 2, p. 173-234, Gauthier-Villars, Paris, 1868 i per Nicolai Lobatxevski el 1832,Lobatschewsky, Probabilité des résultats moyens tirés d'observations répetées. Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1842, no. 24, 1842, p. 164-170. i redescobertes per nombrosos autors.Seal, H. L., Spot the prior reference, The Journal of the Institute of Actuaries Students' Society, 1950. https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/7A07C679478E54AD8D92AD2AA4B04046/S0020269X00004606a.pdf/div-class-title-spot-the-prior-reference-div.pdf
Definició i funció de densitat Siguin variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Designem per la mitjana d'aquestes variables: La distribució de és coneguda com a distribució de Bates. És una distribució contínua amb funció de densitatJonhson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2, p.297. 2nd Edition, Wiley on és la part entera del nombre real .
Alternativament on Ambdues expressions són equivalents, ja que a la segona expressió, per a , tenim que .
Sigui la suma de : que té una distribució d'Irwin-Hall, i designem per la seva funció de densitat. Tenim que Per la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries amb densitat tenim que Per tant, la fórmula de es dedueix de la a la pagina de la distribució d'Irwin-Hall on també hi ha les demostracions corresponents.
Totes les propietats de la distribució de Bates (moments, funció característica,....) es dedueixen de les corresponents propietats de les distribucions uniformes i de la independència de .
Generalització Com a la secció anterior, designem per la funció de densitat de Bates
Siguin variables aleatòries independents, amb distribució uniforme en l'interval , amb , sigui la funció de densitat de la mitjana aleshores
Aproximació normal Tal com mostra el gràfic del principi de la pàgina, a l'augmentar , la distribució de Bates s'assembla cada cop més a una distribució normal. La raó és que podem aplicar el teorema central del límit. Concretament, considerem el cas general que hem considerat a l'apartat anterior amb amb distribució uniforme en l'interval , i Atès que tindrem que on te una distribució normal estàndard . També es diu que és asimptòticament normal amb mitjana i variància :
El cas de Lobatxevski Lobatxevski considera el cas i , és a dir, les variables de partida tenen distribució uniforme a l'interval , que interpreta com els errors en prendre mesures repetides de determinada quantitat (en unes unitats no especificades). Llavors la densitat de la seva mitjana és Vegeu Renyi per a l'expressió de la densitat de la suma de variables independents uniformes en [-1,1].
D'acord amb Maistrov , Lobatxevski tenia interès en aquesta distribució perquè volia estimar, tenint en compte els errors de mesura, si la suma dels angles d'un gran triangle astronòmic era menor que , amb la qual cosa es tindria una prova que la geometria de l'univers era no euclidiana hiperbòlica. Vegeu Brylevskaya.
Vegeu també Distribució d'Irwin-Hall Distribució normal Teorema del límit central Distribució uniforme contínua
Referències
Bibliografia
Bates