upright=1.8|miniatura|Totes les funcions trigonomètriques d'un angle θ es poden construir geomètricament en termes de la circumferència goniomètrica. En matemàtiques, les funcions trigonomètriques són funcions d'un angle. Són la base per l'estudi de la trigonometria, els triangles i per la modelització dels fenòmens periòdics, entre moltes altres aplicacions. Les funcions trigonomètriques es defineixen habitualment com a quocients entre les longituds de dos costats d'un triangle rectangle que contingui l'angle, i de forma equivalent es poden definir a partir de les longituds de diversos segments a partir de la circumferència goniomètrica (circumferència de radi unitat, el centre de la qual és l'origen d'un sistema de coordenades cartesianes). Hi ha definicions més modernes que les expressen com a sèries infinites o com a solucions d'equacions diferencials; l'avantatge d'aquestes definicions és que permeten estendre les funcions trigonomètriques a cossos arbitraris com per exemple els nombres complexos.
Actualment es fan servir les sis funcions trigonomètriques que es presenten a la taula de la dreta, juntament amb algunes de les identitats que permeten calcular-ne unes a partir de les altres. En el cas de les últimes quatre funcions trigonomètriques, sovint es prenen aquestes identitats com a "definicions" de les mateixes funcions, però es poden definir perfectament de manera geomètrica, o per altres mitjans, i llavors demostrar aquestes identitats. De fet, tal com s'aprecia a les identitats de la taula, només cal definir-ne una qualsevol i després es poden emprar unes o altres identitats per definir i calcular tota la resta.
Funció Abreviació Identitats (emprant radiants) Sinus sin Cosinus cos Tangent tan(o tg) Cosecant csc(o cosec) Secant sec Cotangent cot(o ctg o ctn)
Història
La noció que hi ha d'haver alguna correspondència bàsica entre la longitud de les cares d'un triangle i els angles apareix tan aviat com en reconeix que els triangles semblants mantenen constants les relacions entre les seves cares. És a dir, per a qualsevol triangle rectangle semblant a un de donat, la relació (el quocient entre les longituds) entre la hipotenusa (per exemple) i una altra de les seves cares es manté constant. Si la hipotenusa és el doble de llarga, també ho són les altres dues cares. Són precisament aquestes relacions les que es fan servir per a expressar les funcions trigonomètriques.
Les funcions trigonomètriques varen ser estudiades per:
El matemàtic grec Hiparc de Nicea (180-125 AC) va crear taules on relacionava la longitud de l'arc amb la longitud de la corda corresponent,O'Connor (1996). A Egipte, Claudi Ptolemeu (90–180 AD) va escriure l'almagest on desenvolupa les fórmules equivalents a les actuals pel sinus de la suma de dos angles però per la funció corda, i una fórmula pel càlcul de la corda de l'angle meitat, a partir d'aquí va crear una taula trigonomètricaBoyer, pàg. 158–168. El matemàtic Indi Aryabhata (476–550) definí per primera vegada les funcions sinus (la meitat de la corda) i cosinus. Els seus treballs contenen les taules més antigues que existeixin actualment dels valors del sinus de tots els angles compresos entre 0° i 90° a intervals de 3,75°, amb una precisió de 4 decimals. Aquesta taula fou reproduïda per Brahmagupta (628) Segons l'obra d'Abu l-Wafa, sembla que els matemàtics musulmans utilitzaven cadascuna de les sis funcions trigonomètriques, i disposaven de taules amb intervals de 0,25°, amb 8 decimals exactes.Abūʾl-Wafā Article sobre Abūʾl-Wafā a l'Enciclopèdia Britànica. El matemàtic català Savasorda (1070-1136) escriu la primera taula trigonomètrica en llatí. Aquesta taula fa servir la corda seguint la tradició clàssica en comptes del sinus que empraven els àrabs, divideix la circumferència goniomètrica en 88 parts (en comptes de 360 graus) i al diàmetre li assigna 28 unitats. Això fa que la unitat d'angle sigui molt aproximadament el radian. La taula dona l'angle en graus, minuts i segons i és exacta fins a l'últim decimal.Llibre de Geometria, Abraham Bar Hiia (Savasorda), Biblioteca Hebraico-Catalana, pàgina 82 El matemàtic indi Bhaskara II, l'any 1150 explica un mètode detallat per construir les taules de sinus per a qualsevol angle. Madhava de Sangamagrama (1400) Va fer uns primers passos en l'anàlisi matemàtica de funcions trigonomètriques basada en sèries. Leonhard Euler amb l'obra Introductio in analysin infinitorum (1748) va ser el principal responsable d'establir el tractament de les funcions trigonomètriques a Europa, també les va definir com a sèries infinites i va presentar la fórmula d'Euler", així com les abreviatures gairebé igual que les modernes sin., cos., tang., cot., sec., i cosec.
Històricament era comú de fer servir unes quantes funcions més que les d'avui en dia (i aquestes funcions apareixen en les taules més antigues de funcions trigonomètriques), però en l'actualitat s'han deixat de fer servir. Són funcions com ara la corda (crd(θ) = 2 sin(θ/2)), el versinus (versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin²(θ/2)), el semiversinus (semiversin(θ) = versin(θ) / 2 = sin²(θ/2)), l'exsecant (exsec(θ) = sec(θ) − 1) i l'excosecant (excsc(θ) = exsec(π/2 − θ) = csc(θ) − 1). Moltes més relacions, entre les quals es troben aquestes, es troben a l'article sobre la llista d'identitats trigonomètriques.
Etimologia L'etimologia de la paraula sinus prové de la paraula en sànscrit jya-ardha que vol dir "mitja corda", abreujat en jiva. Això es transliterava en àrab com jiba, i s'escrivia jb, en no escriure les vocals en àrab. Després, aquesta transliteració va ser traduïda per error al al llatí com a sinus, sota la impressió equivocada que jb corresponia a la paraula jaib, que significa "pit" o "badia" o "plec" en àrab, tal com sinus en llatí.Vegeu Maor (1998), capítol 3, referent a etimologia. La paraula llatina és la que s'ha conservat en català.
La paraula tangent ve del llatí tangens: que "toca", ja que la recta emprada per definir-la toca la circumferència goniomètrica, mentre que secant prové de secans en llatí - "tallant" - ja que la recta emprada per definir-la talla la circumferència goniomètrica: ambdues van ser introduïdes pel matemàtic danès Thomas Fincke el 1583.
Definició de les funcions trigonomètriques Les diferents definicions de les funcions trigonomètriques que es presenten a continuació són equivalents en el sentit que, per als angles en què es poden aplicar, el resultat coincideix. Però es diferencien en el sentit que es poden aplicar a angles en un sentit cada cop més ampli de la paraula. La definició basant-se en el triangle rectangle, estrictament parlant, només es pot aplicar a angles aguts. La definició basant-se en la circumferència goniomètrica permet atribuir valor a les funcions trigonomètriques d'angles que tinguin qualsevol valor dins del conjunt dels nombres reals. La definició basada en sèries es pot fer servir per calcular les funcions trigonomètriques d'arguments complexos.
A més, les definicions basades en sèries, en equacions diferencials o en equacions funcionals, permeten abordar l'estudi de les funcions trigonomètriques sense fer referència a consideracions geomètriques. Simplement acceptant la definició basada purament en conceptes propis de l'anàlisi matemàtica.
Basant-se en el triangle rectangle miniatura|Un triangle rectangle té sempre un angle de 90° (π/2 radiants), en aquest cas el C. Els angles A i B poden variar. Les funcions trigonomètriques especifiquen les relacions entre les longituds dels costats dels angles interiors d'un triangle rectangle. Per tal de definir les funcions trigonomètriques de l'angle A, es comença amb un triangle rectangle arbitrari que contingui l'angle A. Es fan servir els següents noms pels costats del triangle: La hipotenusa és el costat oposat a l'angle recte, o també es pot definir com el costat més llarg del triangle rectangle, en aquest cas h. El catet oposat és el costat oposat a l'angle que es pretén estudiar, en aquest cas a. El catet adjacent és el costat que està en contacte amb l'angle que s'està estudiant i l'angle recte. En aquest cas el catet adjacent és b.
Tots els triangles es prenen en el pla euclidià; d'aquesta forma els angles interns de qualsevol triangle sumen π radiants (o 180°). Per tant, per a qualsevol triangle rectangle els angles no rectes són entre zero i π/2 radiants (o 90°). Cal observar que les següents definicions, parlant estrictament, només defineixen les funcions trigonomètriques per angles dins d'aquest interval. S'estenen al conjunt sencer dels arguments reals a base de fer servir la circumferència goniomètrica, o a base d'imposar certes simetries i que siguin funcions periòdiques.
En la següent taula es recullen les definicions de les sis funcions trigonomètriques sobre la base del triangle rectangle:Iniciació a les matemàtiques per a l'enginyeria Pàgina de la UOC on es defineixen les funcions trigonomètriques basant-se en el triangle rectangle]
Nom Definició Fórmula Triangle de la figura Sinus El sinus d'un angle és el quocient entre la longitud del catet oposat i la longitud de la hipotenusa. <center> Cosinus El cosinus d'un angle és el quocient entre la longitud del catet adjacent i la hipotenusa. <center> Tangent La tangent d'un angle és el quocient entre la longitud del catet oposat i la longitud del catet adjacent. <center> Cosecant La cosecant és la inversa del sinus, és a dir, el quocient entre la longitud de la hipotenusa i la longitud del catet oposat. <center> Secant La secant és la inversa del cosinus, és a dir, el quocient entre la longitud de la hipotenusa i la longitud del catet adjacent. <center> Cotangent La cotangent és la inversa de la tangent, és a dir, el quocient entre la longitud del catet adjacent i la longitud del catet oposat. <center>
Es pot veure que aquests quocients no depenen del triangle rectangle concret que s'hagi escollit, atès que tots els triangles rectangles que tinguin l'angle A són semblants.
Basant-se en la circumferència goniomètrica miniatura|El sinus i el cosinus d'un angle t es defineixen respectivament com el valor de la coordenada y i la coordenada x del punt on la circumferència de radi unitat interseca el radi girat un angle t respecte de l'eix x positiu. miniatura|La circumferència goniomètrica.
Les sis funcions trigonomètriques també es poden definir en base la circumferència goniomètrica, la circumferència de radi unitat el centre de la qual és l'origen d'un sistema de coordenades cartesianes. La circumferència goniomètrica aporta poc en el camí cap als càlculs pràctics, si no que es recolza en els triangles rectangles per a la majoria d'angles. En canvi, la definició basada en la circumferència goniomètrica, permet la definició de les funcions trigonomètriques per a tots els arguments reals, tant positius com negatius, no només per a angles entre 0 i π/2 radiants. També dona una imatge visual única que conté de cop tots els angles rellevants. A partir del Teorema de Pitàgores l'equació de la circumferència de radi unitat centrada a l'origen és: