En Matemàtiques i més particularment en Càlcul infinitesimal, la integral de Riemann o integral definida parteix del problema de calcular l'àrea de la regió limitada per una corba donada per una funció f definida en un interval [a,b], l'eix d'abscisses i les rectes verticals per a i b, vegeu la Figura 1. L'important Teorema fonamental del Càlcul integral, que lliga la integració i la derivació, permet calcular de forma senzilla moltes integrals de Riemann. miniatura|300x300px|Figura 1. Volem calcular l'àrea de la regió en verd La construcció de la integral de Riemann pot fer-se de dues maneres. La primera, introduïda per Riemann,«» (Sobre la representació d'una funció per una sèrie trigonomètrica) treball presentat com una memòria per a ser professor a la universitat de Göttingen l'any 1854 i publicada l'any 1868 a les Actes de la Societé Royal des Sciences de Gottingen , vol. 13, p. 87-132; per a la definició de la integral, vegeu la secció 4 i p. 101-103. Vegeu una traducció al francèsRichard Dedekind a . utilitza les sumes de Riemann, mentre que la segona fa servir les sumes inferiors i superiors desenvolupades per Darboux;G. Darboux, « Mémoire sur les fonctions discontinues », dans Ann. Sci. E.N.S., vol. 4, 1875, p. 57-112. en l'actualitat, la majoria d'autors combinen ambdós enfocaments. En aquest article ens centrarem principalment en la primera manera, mentre que la segona s'explica a l'article Integral de Darboux. Vegeu TaoTao fa una aproximació inferior i superior de la funció mitjançant funcions esglaonades. per una construcció alternativa.
Per a una visió global de les diferents nocions d'integral i les seves propietats es recomana l'article Integració.
Les referències bàsiques d'aquest article són Bartle and Sherbert , Apostol Gorphade and Limaye i Schilling .
Introducció i esquema elemental miniatura|300x300px|Figura 2. Una aproximació a l'àrea que volem calcular mitjançant rectangles. Tal com hem dit, partirem del problema de calcular l'àrea de la regió en verd de la Figura 1, que està limitada per una corba donada per una funció , l'eix d'abscisses i les rectes verticals per i . Aproximarem aquesta regió per una regió formada per figures de las que sapiguem calcular les àrees, una idea que ve d'Eudox i Arquímides. Amb aquest objectiu, construirem uns rectangles de la següent manera, vegeu la Figura 2: dividim l'interval mitjançant una família de punts: Les bases dels rectangles seran els intervals . miniatura|300x300px|Figura 3. L'altura dels rectangles és , , etc. Les altures dels rectangles seran , on , vegeu la Figura 3. Aleshores una aproximació a l'àrea serà Com més punts agafem, millor serà l'aproximació a l'àrea. Sota certes condicions, el límit, quan el nombre de punts tendeixi a infinit (i els punts es reparteixin entre tot ), serà un nombre que designem per o , i que s'anomena la integral (de Riemann) de en . Per casos senzills, la integral coincideix amb les fórmules habituals de calcular l'àrea d'un rectangle o d'un triangle. miniatura|Figura 4. La regió entre la corba determinada per la funcó , l'eix d'abscisses i les rectes verticals per i és un triangle de base i altura iguals a 1. miniatura|Figura 5. Aproximació a la integral . Exemple 1. Sigui la funció donada per La regió determinada per aquesta funció, l'eix d'abscisses i les rectes verticals per i és un triangle de base i altura iguals a 1, que té àrea 1/2, vegeu la Figura 4. Dividim l'interval en parts iguals,i prenem el primer rectangle d'altura , el segon d'altura , etc. Aleshores tenim una aproximació de l'àrea que designarem per , vegeu la Figura 5: on hem utilitzat la fórmula de la suma d'una progressió aritmètica. Aleshores,Així,Afortunadament, per calcular moltes integrals no necessitem utilitzar aquest procediment, sinó que tenim el següent resultat:
Teorema. Sigui una funció diferenciable tal que la seva derivada és igual a :Aleshores Aquesta propietat és coneguda com a Regla de Barrow o Teorema fonamental del càlcul integral.
Continuació de l'exemple 1. Considerar la funció La seva derivada és Per tant,
Així, a partir de la regla de Barrow, de les fórmules de les derivades, juntament amb altres propietats de les integrals com les següents: on és una constant, o la integral d'una sumai les fórmules del canvi de variables i d'integració per pars, es podem calcular moltes integrals. Però també hi ha nombroses integrals que no se saben -o no es poden- calcular d'aquesta manera, i aleshores cal recórrer als mètodes de càlcul numèric com el que hem vist al principi de l'exemple 1.
Definició miniatura|300x300px|Figura 6. Exemple de partició macada Considerem un interval tancat , amb . Una partició de és una col·lecció finita de punts tals queS'anomena norma o pas de la partició, que designarem per , a la més gran de les distàncies entre dos punts consecutius: Considerem ara un conjunt de punts tals que , ; aquests punts s'anomenen punts d'avaluació o de mostreig. El parell s'anomena una partició marcada (en anglès, tagget partition), vegeu la Figura 6.
Donada una funció , s'anomena suma de Riemann de corresponent a la partició marcada a la suma Definició. Es diu que és integrable Riemann en si existeix un nombre real tal que per a qualsevol , existeix un tal que si , llavors El número s'anomena la integral de Riemann de en i s'escriuUtilitzant la notació dels límits, s'escriu
Unicitat de la integral. L'expressió no és un límit ordinari, ja que les sumes de Riemann no depenen directament del pas de la partició ; en conseqüència, cal demostrar directament la unicitat del límit.
Conjunt de les funcions integrables. El conjunt de les funcions que són integrables Riemann el designarem per .
En cas que no es compleixi la condició (1) es diu que la funció no és integrable Riemann o que la integral de Riemann de no existeix.
Nomenclatura. Atès que fins la darrera secció només parlarem de la integral de Riemann, sempre que diguem funció integrable s'ha d'entendre funció integrable Riemann, i per integral s'ha d'entendre integral de Riemann.
Generalment, moltes integrals es calculen utilitzant una primitiva o antiderivada de la funció (és dir, el teorema fonamental del càlcul, vegeu més endavant); però és interessant estudiar alguns exemples utilitzant la definició que hem donat
Exemples miniatura|300x300px|Figura 7. La regió sota la funció constant en l'interval és una rectangle
Exemple 2. Funció constant Sigui una funció constant en un interval arbitrari , Anem a veure que és integrable i que (vegeu la Figura 7) la integral coincideix amb l'àrea del rectangle corresponent: En efecte, per qualsevol partició marcada, És evident que es compleix la condició (1) amb . Així,
Continuació de l'Exemple 1. Considerem la funció identitat en l'interval unitat , , Vegeu la Figura 4. Tenim que i .
Exemple 3. Funció de Thomae 300x300px|miniatura|Figura 8. Funció de Thomae a l'interval (0,1) Aquesta funció, introduïda per Johannes Thomae el 1875, és coneguda amb molts altres noms, com per exemple, funció de gotes de pluja, funció de núvols numerables, estrelles sobre Babilònia (J. H. Conway). És un exemple d'una funció que té un nombre infinit numerable de punts de discontinuïtat però que és integrable. És la funció definida per(hi ha autors que donen altres valors a quan o ; això no altera les propietats de les que parlarem). Vegeu la Figura 8. Aquesta funció és continua a tots els números irracionals i discontinua en tots els números racionals, i per tant té un nombre numerable de punts de discontinuïtat. Tenim que i Exemple 4. La funció de Dirichlet. Una funció no integrable
Considerem la funció de Dirichlet restringida a l'interval [0,1], , Aquesta funció, que no és contínua en cap punt no és integrable. Això es pot veure construint sumes de Riemann on tots els punts d'avaluació són nombres irracionals, que donaran totes zero, i sumes de Riemann on aquests punts són racionals que donaran totes 1, i per tant no es pot complir la condició 1.
Funcions integrables Propietat. Les funcions contínues, funcions contínues a trossos fitades i les funcions monòtones, definides en un interval finit són integrables.
Funcions fitades Recordem que una funció és diu que és fitada o acotada si existeix un nombre real tal que per a tot . Noteu que les funcions contínues, monòtones i esglaonades definides en un interval finit són fitades.
Propietat. Tota funció integrable és fitada.
Aquesta propietat és interessant ja que dona una condició necessària per a la integrabilitat. Si tenim una funció que no és fitada, segur que no és integrable (però veieu més endavant les integrals impròpies per a una extensió del concepte d'integrabilitat.)
Caracterització de Lebesgue de les funcions integrables La següent caracterització de les funcions integrables, deguda a Henri Lebesgue, és molt important:
Teorema. Una funció fitada és integrable si i només si el conjunt de punts on es discontinua té mesura de Lebesgue zero (també es diu que la funció és contínua quasi per tot arreu).
Els conjunts amb un número finit o infinit numerable de punts de tenen mesura de Lebesgue 0. Per aquest motiu, la caracterització de Lebesgue inclou les funcions contínues en un interval finit (el conjunt de punts on són discontínues és ), les funcions fitades contínues a trossos -en particular les funcions esglaonades- en un interval finit (tenen un nombre finit de punts de discontinuïtat) i les funcions monòtones en un interval finit (tenen, com a màxim, un nombre numerable de punts de discontinuïtat).
Aproximació a la integral per successions Quan sabem que una funció és integrable podem calcular la seva integral escollint una successió de particions i de punts d'avaluació convenients, tal com hem fet a l'exemple 1. Això es basa en la següent propietat:
Teorema. Considerem una funció i sigui una successió de particions qualsevol amb , i punts d'avaluació arbitraris . Aleshores
Propietats Excepte quan s'especifica una altra referència, aquestes propietats es troben demostrades a Bartle and Shebert .
Operacions amb funcions integrables Linealitat Si i , llavors i
Producte Si , llavors , on designa el producte de les funcions i : .
Cal notar que, en general, Per exemple, si , llavorsTambé tenim :
Si i existeix tal que per a tot , llavors .
Si , tal que per a tot , llavors per a qualsevol .
Mínim i màxim de dues funcions Donades dues funcions , considerem el mínim i màxim: Si , llavors, .
Composició de funcions integrables Veurem amb un exemple que la composició de funcions integrables en general no és integrable i que cal demanar condicions addicionals. Els següent teorema cobreix els casos més habituals.
Teorema. Sigui , amb , i sigui contínua. Aleshores .
Observació. Atès que tota funció integrable és fitada, la condició no suposa cap restricció sobre .
Exemple d'una composició de funcions integrables que no és integrable. Sigui definida per Tenim que i . Designem per la funció de Thomae que hem introduït a l'exemple 3, i que també és integrable. Llavors que és la funció de Dirichlet de l'exemple 4, que hem vist que no era integrable.
Integració en un subinterval Sigui . Si , designarem per la mateixa lletra la restricció de a .
Si , també .
Partició de l'interval d'integració Continuem designant per la mateixa lletra una funció i la seva restricció en un subinterval.
Sigui i . Si i , llavors i Convenis.
Si , i , definim La propietat anterior es pot generalitzar de la següent manera:
Sigui i . Aleshores en el sentit que si existeixen dues de les integrals, també existeix la tercera i es compleix la igualtat.
Positivitat i monotonia Sigui , amb per a tot . Llavors D'aquí es dedueix:
Siguin tal que per a tot . Llavors,
Valor absolut Sigui . Llavors i
Continuïtat de la integral Teorema.Sigui . Definim per Aleshores és contínua en .