miniatura|Gràfica que representa la densitat d'estats enfront de l'energia per a un gas d'electrons lliures tridimensional. La densitat d'estats (DOS) en un sistema físic caracteritza el nombre existent d'estats per cada interval d'energia. En un sistema quàntic finit (partícula en un pou) existeix un nombre discret d'estats possibles de l'energia, de manera que la densitat d'estats serà una distribució discreta; en canvi en sistemes infinits les energies accessibles formen un continu de manera que la densitat d'estats formarà també un continu. La densitat d'estats depèn essencialment del tipus d'interacció del sistema (ja que és aquesta la que determina la quantització de les energies). És un concepte central en física estadística ja que el comportament de la densitat d'estats marca el comportament del sistema.
En física d'estat sòlid i física de matèria condensada, la densitat d'estats (DOS de l'anglès "Density of states") d'un sistema descriu la quantitat d'estats que poden ser ocupats a cada nivell d'energia.
La densitat d'estats es defineix com el nombre d'estats del sistema () les energies del qual prenen els valors compresos entre i .
Matemàticament es representa com una distribució per una funció de densitat de probabilitat, i generalment és una mitjana dels dominis d'espai i temps dels diferents estats ocupats pel sistema. La densitat d'estats està directament relacionada amb les relacions de dispersió de les propietats del sistema. Una DOS (densitat d'estats) alta en un nivell d'energia específic vol a dir que hi ha molts estats disponibles per ser ocupats.
En general, la DOS de la matèria és contínua. No obstant això, en sistemes aïllats, com en el cas dels àtoms o molècules en fase gasosa, la distribució de densitat és discreta. Les variacions locals, generades generalment per distorsions del sistema original, es coneixen amb el nom 'densitat local d'estats' (LDOS).
Introducció En mecànica quàntica, les ones, o partícules amb comportament similar, poden ocupar modes o estats amb longituds d'ona i direccions de propagació dictades pel sistema. Per exemple, en alguns sistemes, l'espai interatòmic i la càrrega atòmica d'un material podrien permetre que només existeixin electrons de certes longituds d'ona. En altres sistemes, l'estructura cristal·lina d'un material podria permetre que les ones es propaguin en una direcció, evitant la propagació en una altra. Sovint, només es permeten estats específics. Per tant, pot succeir que hi hagi molts estats disponibles per a l'ocupació en un nivell d'energia determinat, mentre que no hi hagi estats disponibles en nivells d'energia diferents.
Tots els estats de les bandes inferiors, conegudes com a bandes de valència, són ocupats per portadors de càrrega. En conseqüència, els estats de la banda d'energia superior, coneguda com a capa de conducció, pot estar parcialment ocupada. Aquestes bandes estan separades per una banda d'energia prohibida el valor mínim de la qual és anomenat gap.
En observar la densitat dels estats dels electrons en la vora del gap en un semiconductor, per a un electró en la banda de conducció, un augment de l'energia electrònica fa que hi hagi més estats disponibles per ser ocupats. Alternativament, la densitat d'estat és discontínua per a un interval d'energia, la qual cosa significa que no hi ha estats disponibles perquè els electrons ocupin dins de l'interval de banda del material. Aquesta condició també significa que un electró en la vora de la banda de conducció ha de perdre almenys l'energia de separació de banda del material per passar a un altre estat en la banda de valència.
Això determina si el material és un aïllant o un metall en la dimensió de la propagació. Conèixer el nombre d'estats en una banda també és útil per predir les propietats de conducció. En una estructura cristal·lina unidimensional, un nombre imparell d'electrons per àtom dona com a resultat una banda superior mig plena, de manera que hi ha electrons lliures en el nivell de Fermi i, per tant, un comportament propi en un metall. D'altra banda, un nombre parell d'electrons plena exactament certs estats en les bandes, deixant la resta buida. Si el nivell de Fermi es troba en un interval de banda ocupat, el material serà un aïllant o un semiconductor.
Depenent del sistema mecànic quàntic, la densitat d'estats es pot calcular per electrons, fotons o fonons, i es pot donar en funció de l'energia o del vector d'ona k. Per convertir entre la DOS (densitat d'estats) com a funció depenent de l'energia i la DOS com a funció depenent del vector d'ona, s'ha de conèixer la relació de dispersió d'energia específica del sistema entre E i k.
En general, les propietats topològiques del sistema, com l'estructura de les bandes, tenen un impacte important en les propietats de la densitat d'estats. Els sistemes més coneguts, com el neutroni en les estreles de neutrons i els gasos d'electrons lliures en els metalls (exemples de matèria degenerada i gas de Fermi), tenen una topologia euclidiana tridimensional. Els sistemes com els gasos d'electrons bidimensionals (2DEG) en capes de grafit i l'efecte Hall quàntic en dispositius tipus MOSFET, tenen una topologia euclidiana bidimensional. Els nanotubs de carboni, el filferro quàntic i el líquid Luttinger, en canvi, tenen topologies unidimensionals. És probable que els sistemes amb topologies 1D i 2D es tornin més comuns, suposant que continuïn els desenvolupaments en nanotecnologia i ciència de materials.
Definició La densitat d'estats és per definició la distribució la integral de la qual entre dues energies dona el nombre existent d'estats.
sent D(E) la densitat d'estats i N(E) el nombre d'estats amb energia menor o igual que E.
En general, la densitat d'estats relacionada amb el volum V i, definint , considerant el canvi més petit permès de k per a una partícula en una caixa de dimensió (), ve donada per:
sent d la dimensió espaial del sistema considerat, la distribució delta de Dirac, i k el vector d'ona (vector de l'espai recíproc). D'aquesta manera, s'obté , i per a una, dues i tres dimensions respectivament.
De manera equivalent, la densitat d'estats també pot entendre's com la derivada de la funció de partició microcanónica (és a dir, el nombre total d'estats amb energia menor que E) pel que fa a l'energia:
El nombre d'estats amb energia (grau de degeneració) ve donat per:
on l'última igualtat només s'aplica quan el teorema del valor mitjà per a integrals és vàlid.
Simetria Alguns sistemes de matèria condensada posseeixen una simetria de la seva estructura en la seva escala microscòpica que simplifica els càlculs de la seva densitat d'estats. En els sistemes esfèricament simètrics, les integrals de la funció són unidimensionals perquè totes les variables en el càlcul depenen només del paràmetre radial de la relació de dispersió. Els fluids, vidres o sòlids amorfs són exemples d'un sistema simètric les relacions de dispersió del qual tenen una simetria rotacional.
L'estudi de les mesures en pols o mostres policristal·lines requereixen funcions d'avaluació i càlcul i integrals en tot el domini, generalment la zona de Brillouin, de les relacions de dispersió del sistema. Si la simetria del sistema és alta, la forma de les funcions que descriuen les relacions de dispersió del sistema apareixen moltes vegades en tot el domini de la relació de dispersió. En tals casos, el càlcul de la DOS es pot limitar a una zona reduïda o domini fonamental.
A la primera zona de Brillouin de la xarxa FCC, un octàedre truncat, es mostra una alta simetria, de 48 vegades del grup de punts amb simetria octaèdrica completa. Aquesta configuració significa que la integració en tot el domini de la zona de Brillouin es pot reduir a una quarantavuitena part de tota la zona de Brillouin. Els elements amb una estructura cristal·lina FCC, com el diamant, el silici i el platí i les seves zones de Brillouin i les seves relacions de dispersió, tenen una simetria comparable a la zona de Brillouin de la xarxa cúbica (FCC).
Altres dues estructures cristal·lines familiars són la xarxa cúbica centrada en cos (BCC) i les estructures empaquetades tancades hexagonals (HCP) amb xarxes cúbiques i hexagonals, respectivament. L'estructura BCC té la simetria de gran icosàedre (o piritoédrica) de 24 vegades del grup de punts . L'estructura HCP té la simetria dièdrica prismàtica de 12 vegades del grup de punts . Es pot trobar una llista completa de les propietats de simetria d'un grup de punts en les taules de caràcters del grup de punts.
En general, és més fàcil calcular una DOS quan la simetria del sistema és major i el nombre de dimensions topològiques de la relació de dispersió és menor. La DOS de les relacions de dispersió amb simetria rotacional sovint es pot calcular analíticament. En sistemes anisotròpics de matèria condensada, com un sol cristall d'un compost, la densitat d'estats podria ser diferent en una direcció cristal·logràfica que en una altra. Això fa que la densitat anisotrópica dels estats sigui més difícil de visualitzar, i pot requerir mètodes com calcular la DOS només per a punts o direccions particulars, o calcular la densitat projectada d'estats (PDOS) per a una orientació de cristall particular.
Topologies de l'espai k La densitat dels estats depèn dels límits dimensionals de l'objecte mateix. En un sistema descrit per tres dimensions (3D), les unitats de la DOS són unitats d'energia i volum , mentre que en un sistema bidimensional les unitats de la DOS són d'energia i àrea . Finalment, en un sistema unidimensional les unitats de DOS són d'energia i longitud .
L'espai tancat per la superfície d'energia constant del sistema deriva a través d'una relació de dispersió que relaciona E amb k. La dimensionalitat del sistema limita l'impuls de les partícules dins del sistema.
Densitat d'estats del vector d'ona (volum esfèric) Primer s'han de conèixer els N estats permesos en certa k continguts en l'interval [k, k + dk] dins del volum del sistema. Aquest procediment es realitza diferenciant tot el volum de l'espai de k () en n dimensions. El volum, àrea o longitud, depenent si el sistema aquesta en tres, dos o una dimensions respectivament, dels espais k esfèrics s'expressen mitjançant:
on les constants estan determinades topològicament: , , per a funcions lineals, de disc i de forma simètrica esfèrica en espais k euclidians d'una, dues i tres dimensions respectivament.
D'acord amb aquest esquema, la densitat d'estats del vector d'ona N es pot expressar com:
de tal manera que s'obté i com a densitat d'estats del vector d'ona per a una línia, disc o esfera en una, dues i tres dimensions respectivament.
Un estat és prou gran com per contenir partícules que tenen una longitud d'ona , que es relaciona amb k a través de .
En un sistema quàntic, dependrà d'un espaiament característic del sistema L que limita les partícules. Finalment, la densitat dels estats N es multiplica per un factor , on s és un factor de degeneració constant que explica els graus interns de llibertat a causa de fenòmens físics com el gir (espín) o la polarització. Si no existeix tal fenomen, llavors . és el volum a l'espai k els vectors d'ona de la qual són més petits que els vectors d'ona més petits possibles decidits per l'espaiat característic del sistema.
Densitat d'estats de energia Per finalitzar el càlcul per la DOS, és important també conèixer el nombre d'estats per unitat de volum de mostra per a una energia I dins d'un interval . La forma general de la DOS d'un sistema es dona com