miniatura|El·lipse miniatura|El·lipse Una el·lipse és el lloc geomètric dels punts del pla per als quals és constant la suma de les distàncies a dos punts interiors fixos denominats focus, que regeixen l'excentricitat de l'el·lipse:
L'equació d'una el·lipse centrada en el punt (0,0) és:
on a és la semidistància de l'eix d'abscisses de l'el·lipse, mentre que b és la semidistància sobre l'eix d'ordenades.
L'àrea que tanca aquesta el·lipse és:
Si a=b, l'el·lipse és una circumferència, i llavors l'àrea que tanca (el cercle) és simplement π·a².
La longitud o perímetre d'una el·lipse es pot aproximar de manera raonable amb la fórmula de Rivera, en la qual s'utilitza el valor del «semieix major» (a) i el valor del «semieix menor» (b) de l'el·lipse. Expressió aproximada del perímetre o longitud d'una el·lipse:
Fórmula de Rivera:
En el cas límit on b = 0, la fórmula dona el valor exacte L = 4a.
L'excentricitat de l'el·lipse (e) s'obté:
on
L'el·lipse és la corba cònica tancada que s'obté en la intersecció d'una superfície cònica amb un pla oblic a l'eix del con quan aquest pla no és paral·lel a cap generatriu del con.
Definició com a lloc geomètric miniatura|El·lipse: Definició per suma de distàncies entre punts Una el·lipse es pot definir geomètricament com un conjunt o lloc de punts en el pla euclidià:
Donats dos punts fixos anomenats focus i una distància que és més gran que la distància entre els focus, l'el·lipse és el conjunt de punts de manera que la suma de les distàncies es igual a :
miniatura|El·lipse: definició per focus i directriu circular El punt mitjà del segment de línia que uneix els focus s'anomena centre de l'el·lipse. La línia a través dels focus s'anomena eix major, i la línia perpendicular a aquesta a través del centre és leix menor. Leix major intersecciona lel·lipse als punts del vèrtex , que tenen la distància al centre. La distància dels focus al centre s'anomena distància focal o excentricitat lineal. El quocient és l'excentricitat.
El cas produeix un cercle i s'inclou com un tipus especial d'el·lipse.
L'equació es pot visualitzar d'una altra manera (vegeu la figura):
Si és el cercle amb el migpunt i el radi , després la distància d'un punt al cercle és igual a la distància amb el focus :
El s'anomena directriu circular (relacionada amb l'enfocament ) de l'el·lipse.The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle). Aquesta propietat no s'ha de confondre amb la definició d'una el·lipse mitjançant una línia de directriu següent.
Utilitzant esferes de Dandelina, es pot demostrar que qualsevol secció plana d'un con amb un pla és una el·lipse, suposant que el pla no conté l'àpex i té una inclinació inferior a la de les línies del con.
Òrbites astronòmiques Molts objectes celestes (per exemple els planetes i cometes periòdics del sistema solar) segueixen òrbites el·líptiques.
miniatura|Animació mostrant el moviment d'un cos (verd) en òrbita el·líptica d'excentricitat 0.7 al voltant d'un cos central (blau). També es mostren el radi del periàpside (rp) i el radi del apoàpside (ra). miniatura|Animació de l'òrbita del Cometa de Halley Si l'energia orbital és negativa, l'òrbita pren la forma d'una el·lipse, amb el cos massiu situat sobre un dels seus focus. Pel fet de ser una corba tancada, el moviment d'un cos en una òrbita el·líptica és periòdic (es repeteix cíclicament). El temps que el cos en òrbita triga a recórrer l'òrbita completa s'anomena període de revolució o període de l'òrbita. Està definit per l'expressió següent:
On a és el semieix major de l'òrbita. Dos altres paràmetres importants per aquest tipus d'òrbita són el radi de l'apoàpside i el radi del periàpside: el radi de l'apoàpside és la distància entre el centre del cos al voltant del qual s'està orbitant i el punt més allunyat de l'òrbita:
el radi del periàpside és la distància entre el centre del cos al voltant del qual s'està orbitant i el punt més proper de l'òrbita:
On e és l'excentricitat de l'òrbita.
Les òrbites circulars (amb forma de cercle) són un tipus particular d'òrbites el·líptiques amb excentricitat nul·la (e=0).
La major part dels cometes tenen òrbites el·líptiques allargades (en forma d'oval) i relativament propincs al Sol per una part de la seva òrbita i, seguidament, cap a l'abast del sistema solar per a la resta. Els cometes són sovint classificats segons la durada del seu període orbital, el més llarg és el període més perllongat de l'el·lipse.
Tensió de Von Mises i Superfície de fluència miniatura|Figura 4: Comparació dels criteris de Tresca-Guest i Huber-Mises-Hencky en l'espai bidimensional
La figura 4 mostra la superfície de fluència de von Mises en un espai bidimensional, en comparació amb el criteri de Tresca-Guest. La secció del cilindre de von Mises en el pla determina una forma el·líptica de la superfície de fluència.
Aplicacions
Les formes el·líptiques aplicades a objectes reals permeten obtenir resultats estètics o físics més o menys desitjats.
Arquitectura i jardineria Un exemple típic d'un edifici de forma aproximadament el·líptica és el Colosseu.
El jardí The Ellipse (a vegades anomenat President's Park South) té una forma el·líptica.
Acústica De forma simplificada: les ones sonores emeses en un dels focus d'una cambra el·líptica es dispersen i es tornen a concentrar en l'altre focus. Aquesta propietat fou aprofitada per a defensar formes arquitectòniques basades en la el·lipse. Els resultats pràctics no sempre foren els desitjats. Altaveus el·líptics.
Òptica Els miralls el·líptics es fan servir en diversos dissenys òptics.
Transmissions mecàniques Hi ha engranatges el·líptics per a diverses aplicacions.
Ciclisme Hi ha tècnics i usuaris que defensen els plats el·líptics.
Aparells de gimnàstica Hi ha diverses màquines el·líptiques que permeten variar els exercicis de les màquines circulars.
Suspensions de vehicles de motor Molts elements de suspensió (en el passat i encara actualment) es basen en les molles de ballesta. Les denominacions «ballestes el·líptiques» i «ballestes semi-el·líptiques» es relacionen amb una semblança d'aspecte dels models reals amb les formes geomètriques.
Aerodinàmica El concepte d'ala el·líptica té una gran importància en certs models d'avions. K.C. Khurana, Aviation management: Global Perspectives, p.57
Vegeu també Ala el·líptica
Referències
Bibliografia
Categoria:Seccions còniques