miniatura|Eugenio Beltrami (1835-1900) La identitat de Beltrami, que porta el nom del matemàtic italià Eugenio Beltrami, és un cas especial de les equacions d'Euler-Lagrange en el càlcul de variacions.
Les equacions d'Euler-Lagrange serveixen per extremar l'acció de les funcions de la forma
on i són constants, i .
Si , llavors les equacions d'Euler-Lagrange es redueixen a la identitat de Beltrami,
on és una constant.Per tant, la transformada de Legendre del lagrangià, del hamiltonià, és constant al llarg del camí dinàmic.
Derivació La següent derivació de la identitat de Beltrami comença amb l'equació d'Euler-Lagrange,
Multiplicant els dos costats per ,
Segons la regla de la cadena,
on .
Reordenant això es produeixen
Per tant, substituint aquesta expressió per en la segona equació d'aquesta derivació,
Segons la regla del producte, l'últim terme es reexpressa com a
i reordenant,
Per al cas de , això es redueix a
de manera prenen els resultats de l'antiderivada en la identitat de Beltrami,
on és una constant.Aquesta derivació de la identitat de Beltrami correspon a la de
Aplicacions Solució al problema de la braquistòcrona miniatura|La solució al problema de la braquistòcrona és la cicloide Un exemple d'aplicació de la identitat de Beltrami és el problema de la braquistòcrona, que consisteix a trobar la corba que minimitza la integral
L'integrand
no depèn explícitament de la variable d'integració , de manera que s'aplica la identitat de Beltrami,
Substituint per i simplificant,
que es pot resoldre amb el resultat posat en forma d'equacions paramètriques
amb sent la meitat de la constant anterior, , i essent una variable. Aquestes són les equacions paramètriques per a una cicloide.Aquesta solució del problema de la braquistòcrona correspon a la de
Notes
Referències
Categoria:Càlcul