miniatura|El deltaedre convex més gran és l'icosaedre Un deltaedre és un políedre on totes les seves cares són triangles equilàters iguals. S'anomenen així per la lletra grega delta que en majúscules s'escriu com un triangle (Δ). Hi ha infinits deltaedres, però sols vuit són convexos, d'aquests, sols 3 són regulars.
Cares, vèrtexs i arestes als deltaedres Del fet que les cares siguin sempre triangles, es dedueix que el nombre d'arestes és , on és el nombre de cares. Això implica que no hi ha deltaedres amb un nombre senar de cares. La fórmula d'Euler també dona el nombre de vèrtexs en funció de les cares
Analitzant els deltaedres succeeix que apareixen cares contigües coplanars, per exemple si a un vèrtex coincideixen 6 cares. Aquests poliedres amb cares no triangulars o desiguals que es poden subdividir en triangles no es consideren deltaedres en sentit estricte.
Els deltaedres mantenen sempre la seva forma, són rígids. Construïts com a esquelets és a dir sols amb les arestes, no es poden deformar. Aquesta propietat no sempre es compleix als políedres, l'esquelet d'un cub, per exemple, es pot deformar com a prisma de base ròmbica o fins i tot quedar aplanat.
Els vuit deltaedres convexos Sols hi ha vuit deltaedres convexos:O. Rausenberger, Konvexe pseudoreguläre Polyeder. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 46(1915), 135 – 142. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 45, page 735.Hans Freudenthal i Bartel van der Waerden, On an assertion of Euclid. (Dutch) Simon Stevin 25(1947), 115 – 121. Math Review 9, page 99c tres són poliedres regulars i cinc sòlids de Johnson. Deltaedres regularsImatgeNomCaresArestesVèrtexsConfiguració dels vèrtexsGrup de simetria60x60pxtetraedre4644 vèrtexs d'ordre 3 (on coincideixen 3 cares)Td, [3,3]60x60pxoctaedre81266 vèrtexs d'ordre 4 (on coincideixen 4 cares)Oh, [4,3]60x60pxicosaedre20301212 vèrtexs d'ordre 5 (on coincideixen 5 cares)Ih, [5,3] Deltaedres de JohnsonImatgeNomNúmero de JohnsonCaresArestesVèrtexsConfiguració dels vèrtexsGrup de simetria60x60pxbipiràmide triangularJ126952 vèrtexs d'ordre 3 3 vèrtexs d'ordre 4D3h, [3,2]60x60pxbipiràmide pentagonalJ13101575 vèrtexs d'ordre 4 2 vèrtexs d'ordre 5D5h, [5,2]77x77pxbisfenoide xato (dodecàedre siamès)J84121884 vèrtexs d'ordre 4 4 vèrtexs d'ordre 5D2d, [2,2]60x60pxprisma triangular triaugmentatJ51142193 vèrtexs d'ordre 4 6 vèrtexs d'ordre 5D3h, [3,2]60x60pxbipiàmide quadrada giroallargadaJ171624102 vèrtexs d'ordre 4 8 vèrtexs d'ordre 5D4d, [4,2] Aquests cinc darrers deltaedres no són regulars, ja que tot i tenir totes les cares com a triangles equilàters iguals tenen vèrtexs de diferents tipus. Per exemple la bipiràmide triangular té dos vèrtexs d'ordre 3 on coincideixen tres cares i tres vèrtexs d'ordre 4 on coincideixen 4 cares. Es classifiquen per això dins el grup dels sòlids de Johnson.
Els deltaedres no convexos o còncaus Hi ha infinits deltaedres no convexos, per veure això sols cal imaginar els poliedres que es poden aconseguir enganxant tetraedres iguals.
Alguns dels més simples són els que es mostren a continuació, les possibles cadenes i ramificacions de deltaedres simples enganxats són infinites +160x160px160x160px160x160px160x160pxUnió de 3 tetraedres, 8 caresUnió de 4 tetraedres, 10 caresUnió de 5 tetraedres, 12 caresUnió de 8 octaedres, 48 cares Són coneguts els deltaedres generats a partir dels poliedres regulars construint piràmides fetes amb triangles equilàters, enganxades sobre les seves cares 120x120px120x120px126x126px121x121px123x123pxPoliedre construït amb un tetraedre com a nucli, enganxant 4 tetraedres a les seves caresPoliedre construït amb un cub de nucli, enganxant 6 piràmides quadrades a les caresEstel octangle construït amb un octaedre de nucli, enganxant 8 tretraedres a les caresPoliedre construït amb un dodecaedre regular de nucli, enganxant 12 piràmides pentagonals a les caresPoliedre construït amb un icosaedre regular de nucli, enganxant 20 tetraedres a les cares12 triangles24 triangles60 triangles En lloc d'enganxar piràmides a les cares podem extreure-les com el següent exemple 171x171pxPoliedre format a partir d'un dodecaedre del qual s'han extret de cada cara les piràmides60 triangles
Referències
Categoria:Políedres