En topologia i altres branques de la matemàtica, un conjunt tancat és un conjunt el complementari del qual és un obert.
Definició d'un conjunt tancat Donat un espai topològic , un conjunt és tancat si el seu complementari (també simbolitzat per Cc) és un conjunt obert de la topologia .
Això es pot expressar d'altres formes equivalents. com ara: Un conjunt és tancat sii coincideix amb la seva adherència. Un conjunt és tancat sii conté tots els seus punts frontera. Un conjunt és tancat sii conté tots els seus punts d'acumulació.
Propietats dels conjunts tancats La intersecció d'un nombre arbitrari de conjunts tancats és tancat. La unió d'un nombre finit de conjunts tancats és tancat. El conjunt buit i el conjunt total són tancats.
La propietat de la intersecció permet definir l'adherència d'un conjunt A dins un espai X, denotada per , com el subconjunt tancat de X més petit i que conté A: aquest conjunt és la intersecció de tots els conjunts tancats que inclouen A.
Altres propietats d'interès són: Tot subconjunt tancat d'un conjunt compacte és també compacte. La frontera de qualsevol conjunt és tancada. L'antiimatge d'un conjunt tancat per una aplicació contínua entre dos espais topològics és tancada.
Exemples de conjunts tancats Qualsevol subconjunt finit de punts de la recta real amb la topologia euclidiana. L'interval tancat [a,b] dels nombres reals amb la topologia euclidiana és tancat: el seu complementari és obert. El conjunt [0,1] ∩ Q dels nombres racionals entre 0 i 1 (ambdós inclosos) és tancat en l'espai dels nombres racionals amb la topologia euclidiana. En canvi, [0,1] ∩ Q no és tancat en els reals amb la topologia euclidiana. Tot conjunt és tancat en un espai amb la topologia discreta. L'el·lipse de regió és un conjunt tancat amb la topologia habitual del pla.
Vegeu també Conjunt obert
Categoria:Topologia